Calculadora de números complejos: operaciones, forma polar y raíces

Escribe los números como a + bi (por ejemplo 3 + 4i o −2i) y elige la operación. Verás el resultado en forma binómica y polar, el paso a paso y los puntos en el plano complejo.

En resumen

Un número complejo se escribe a + bi, donde i² = −1. Se suman y multiplican como polinomios, cambiando i² por −1: (3 + 2i) · (1 − i) = 3 − 3i + 2i − 2i² = 5 − i. Su módulo es √(a² + b²): el de 3 + 4i es 5.

Qué es un número complejo

Un número complejo tiene una parte real y una imaginaria: z = a + bi, donde i es la unidad imaginaria, i² = −1. Se representa como un punto (a, b) del plano complejo o de Argand.

Operaciones en forma binómica

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i (a + bi) / (c + di): se multiplica arriba y abajo por el conjugado c − di

Forma polar y trigonométrica

módulo: r = √(a² + b²) argumento: θ = arctan(b / a), corregido según el cuadrante z = r∠θ = r(cos θ + i sen θ) = r·e^(iθ)

En forma polar, multiplicar es multiplicar módulos y sumar argumentos, y dividir es dividir módulos y restar argumentos. Por eso las potencias salen con la fórmula de De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ.

Raíces de un número complejo

Un complejo tiene n raíces n-ésimas distintas, con módulo ⁿ√r y argumentos (θ + 360°·k)/n para k = 0, 1, …, n − 1. En el plano forman los vértices de un polígono regular.

Un poco de historia

Aparecieron en el siglo XVI al resolver ecuaciones de tercer grado: Rafael Bombelli explicó en 1572 cómo operar con raíces de números negativos. Descartes los llamó «imaginarios» en 1637 con cierto desdén, Euler introdujo la letra i en 1777 y Gauss los representó como puntos de un plano.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se dividen números complejos?

Multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. Así el denominador se vuelve real (c² + d²) y basta con dividir cada parte.

¿Cómo se pasa un complejo a forma polar?

Con el módulo r = √(a² + b²) y el argumento θ = arctan(b/a), sumando 180° si a es negativo. 3 + 4i = 5∠53,13°.

¿Cuánto vale i²?

−1. Las potencias de i se repiten cada cuatro: i, −1, −i, 1.

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