Resolver ecuaciones de segundo grado
Escribe los coeficientes a, b y c de ax² + bx + c = 0. Verás las soluciones, el discriminante y la parábola dibujada.
En resumen
Una ecuación de segundo grado, ax² + bx + c = 0, se resuelve con la fórmula general x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. Para x² − 5x + 6 = 0: Δ = 25 − 24 = 1 y x = (5 ± 1) / 2, así que las soluciones son x = 3 y x = 2.
El discriminante Δ = b² − 4ac dice cuántas soluciones hay: dos si es positivo, una si es 0 y ninguna real si es negativo.
La fórmula general
Toda ecuación de la forma ax² + bx + c = 0 (con a ≠ 0) se resuelve con:
El ± indica que hay que hacer la cuenta dos veces, una sumando y otra restando: salen las dos soluciones. En Latinoamérica también se la conoce como fórmula de Bhaskara o, en México, «la chicharronera».
El discriminante
Lo que hay dentro de la raíz, Δ = b² − 4ac, dice cuántas soluciones hay sin terminar la cuenta:
| Discriminante | Soluciones | Ejemplo |
|---|---|---|
| Δ > 0 | Dos soluciones reales distintas | x² − 5x + 6 = 0 → x = 3, x = 2 |
| Δ = 0 | Una solución doble | x² − 4x + 4 = 0 → x = 2 |
| Δ < 0 | Ninguna real (dos complejas) | x² + 2x + 5 = 0 → x = −1 ± 2i |
Paso a paso
- Iguala a cero y ordena: x² = 3x − 2 pasa a x² − 3x + 2 = 0.
- Identifica a, b y c, con su signo: a = 1, b = −3, c = 2.
- Calcula el discriminante: Δ = (−3)² − 4 · 1 · 2 = 9 − 8 = 1.
- Aplica la fórmula: x = (3 ± 1) / 2, es decir, x = 2 y x = 1.
- Comprueba sustituyendo: 2² − 3 · 2 + 2 = 0 ✓.
Ejemplos resueltos
Ecuaciones incompletas
Si falta b o c, hay atajos sin fórmula:
- Sin b (x² − 9 = 0): despeja, x² = 9, x = ±3.
- Sin c (x² − 4x = 0): saca factor común, x(x − 4) = 0, x = 0 o x = 4.
- Sin b ni c (5x² = 0): la única solución es x = 0.
Suma y producto de las soluciones
Sin resolver la ecuación se sabe que las dos soluciones suman −b/a y multiplicadas dan c/a (fórmulas de Vieta). En x² − 5x + 6 = 0: 3 + 2 = 5 y 3 · 2 = 6. Sirve para comprobar el resultado o para factorizar: x² − 5x + 6 = (x − 3)(x − 2).
La gráfica: una parábola
Las soluciones son los puntos donde la parábola y = ax² + bx + c corta el eje X. Para ver el vértice y la gráfica, usa función cuadrática; si la ecuación es de grado 4 con solo potencias pares, la ecuación bicuadrada.
Un poco de historia
Los babilonios ya resolvían ecuaciones de segundo grado hacia el 1800 a. C., con un método equivalente a la fórmula actual. Al-Juarismi las resolvió en el siglo IX completando cuadrados de forma geométrica, y en la India las trataron Brahmagupta (siglo VII) y Bhaskara II (siglo XII), por eso en algunos países se habla de la fórmula de Bhaskara. Tal como la escribimos hoy, se fijó con la notación algebraica de los siglos XVI y XVII.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la fórmula de la ecuación de segundo grado?
Para ax² + bx + c = 0: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). El discriminante b² − 4ac dice cuántas soluciones hay: si es positivo, dos; si es cero, una; si es negativo, ninguna real. Para x² − 5x + 6 = 0: x = (5 ± √1) / 2, es decir, x = 3 y x = 2.
¿Cómo se resuelve una ecuación de segundo grado?
Con la fórmula general: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. Si b o c valen 0 (ecuación incompleta), es más rápido sacar factor común o despejar x².
¿Qué pasa si el discriminante es negativo?
La ecuación no tiene soluciones reales: la parábola no corta el eje X. Sí tiene dos soluciones complejas conjugadas, que la calculadora te muestra con la unidad imaginaria i.
¿Qué hago si mi ecuación no está igualada a 0?
Pasa todo a un lado antes de leer a, b y c. Por ejemplo, x² = 3x − 2 se convierte en x² − 3x + 2 = 0, con a = 1, b = −3 y c = 2.
¿La fórmula general es lo mismo que la fórmula de Bhaskara o la chicharronera?
Sí. Son nombres distintos que se usan en distintos países para la misma fórmula.
¿Cuántas soluciones tiene una ecuación de segundo grado?
Como mucho dos. Dos distintas si el discriminante es positivo, una doble si es 0 y ninguna real (dos complejas) si es negativo.
¿Cómo compruebo que las soluciones están bien?
Sustitúyelas en la ecuación: tiene que dar 0. También puedes ver que sumen −b/a y que su producto sea c/a.
¿Qué pasa si a = 0?
Entonces no es de segundo grado sino de primer grado (bx + c = 0), y se resuelve despejando: x = −c/b.
Revisado en septiembre de 2026.
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