Teorema del cateto y teorema de la altura (Euclides)
La altura sobre la hipotenusa la divide en dos proyecciones, m (bajo el cateto b) y n (bajo el cateto c). Escribe dos datos cualesquiera y se calculan los demás.
En resumen
En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa cumple h² = m · n (teorema de la altura), y cada cateto, b² = a · m (teorema del cateto), con m y n las proyecciones. Si las proyecciones miden 9 y 4, la altura es √(9 · 4) = 6 y la hipotenusa, 13.
Los teoremas de Euclides
En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa a la divide en dos segmentos: m, la proyección del cateto b, y n, la del cateto c. Los tres triángulos que aparecen son semejantes, y de ahí salen dos teoremas:
- a: hipotenusa, y b, c: los catetos.
- h: altura sobre la hipotenusa (desde el ángulo recto).
- m y n: proyecciones de los catetos b y c sobre la hipotenusa, los dos trozos en que la altura la divide (m + n = a).
Ejemplos resueltos
Proyecciones m = 9 y n = 4
h = √(9 · 4) = 6, a = 9 + 4 = 13, b = √(13 · 9) ≈ 10,82 y c = √(13 · 4) ≈ 7,21.
Probar este ejemploHipotenusa 25 y proyección m = 16
n = 25 − 16 = 9, h = √(16 · 9) = 12, b = √(25 · 16) = 20 y c = √(25 · 9) = 15.
Probar este ejemploSumando los dos teoremas del cateto sale Pitágoras: b² + c² = a · m + a · n = a · (m + n) = a².
Un poco de historia
Los dos teoremas salen de la semejanza entre los tres triángulos que aparecen al trazar la altura sobre la hipotenusa, y ambos están en los Elementos de Euclides (libro VI, proposición 8 y su corolario). Por eso en España se les suele llamar teoremas de Euclides.
Preguntas frecuentes
¿Qué dice el teorema de la altura?
Que en un triángulo rectángulo la altura sobre la hipotenusa al cuadrado es igual al producto de las dos proyecciones: h² = m · n.
¿Qué dice el teorema del cateto?
Que cada cateto al cuadrado es igual a la hipotenusa por la proyección de ese cateto sobre ella: b² = a · m.
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