Calculadora de vectores: módulo, producto escalar, vectorial y ángulo

Escribe uno o dos vectores de 2 o 3 componentes, por ejemplo (3, −2, 1). Verás todas las operaciones a la vez, con el paso a paso.

En resumen

El módulo de un vector es |u| = √(u₁² + u₂²) (y la tercera componente, si la tiene), y el producto escalar, u · v = u₁v₁ + u₂v₂. El vector (3, 4) mide √(9 + 16) = 5, y su producto escalar con (4, −3) es 12 − 12 = 0: son perpendiculares.

Operaciones con vectores

Módulo: |u| = √(u₁² + u₂² + u₃²) Producto escalar: u · v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃ = |u|·|v|·cos α Producto vectorial: u × v = (u₂v₃ − u₃v₂, u₃v₁ − u₁v₃, u₁v₂ − u₂v₁)
  • Producto escalar (o punto): da un número. Si es 0, los vectores son perpendiculares.
  • Producto vectorial (o cruz): da un vector perpendicular a los dos, cuyo módulo es el área del paralelogramo que forman. Si es 0, son paralelos.
  • Vector unitario: el vector dividido entre su módulo; tiene la misma dirección y módulo 1.

Ejemplo

u = (3, 4): |u| = √(9 + 16) = 5. Con v = (4, −3): u · v = 12 − 12 = 0, así que son perpendiculares.

Un poco de historia

Sumar fuerzas con la regla del paralelogramo se hacía desde el siglo XVI, pero el cálculo con vectores tal como se enseña hoy lo crearon hacia 1880 Josiah Willard Gibbs y Oliver Heaviside, simplificando los cuaterniones que William Rowan Hamilton había inventado en 1843. Según contó él mismo, Hamilton grabó la fórmula en la piedra de un puente de Dublín en el momento en que se le ocurrió.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula el módulo de un vector?

Con la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes: |(3, 4)| = √(9 + 16) = 5.

¿Qué diferencia hay entre producto escalar y vectorial?

El escalar da un número (relacionado con el ángulo entre los vectores); el vectorial da otro vector, perpendicular a los dos, y solo existe en tres dimensiones.

¿Cómo se calcula el ángulo entre dos vectores?

Con cos α = (u · v) / (|u| · |v|) y después el arcocoseno.

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