Binomio de Newton: desarrollar (a + b)ⁿ con el triángulo de Pascal
Escribe los dos términos del binomio (pueden llevar x) y el exponente. Verás el desarrollo completo, término a término, y la fila del triángulo de Pascal que da los coeficientes.
En resumen
El binomio de Newton desarrolla (a + b)ⁿ sumando los términos C(n, k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ, con los coeficientes del triángulo de Pascal. Para n = 4 son 1, 4, 6, 4, 1, así que (x + 2)⁴ = x⁴ + 8x³ + 24x² + 32x + 16.
La fórmula del binomio de Newton
Hay n + 1 términos. En cada uno, el exponente de a baja de uno en uno desde n y el de b sube desde 0; siempre suman n. Si el segundo término es negativo, los signos van alternando.
- a y b: los dos términos del binomio (b con su signo).
- n: el exponente.
- C(n, k): número combinatorio «n sobre k», el coeficiente de cada término.
- n!: factorial de n, n · (n − 1) · … · 1.
El triángulo de Pascal (o de Tartaglia)
Cada número es la suma de los dos que tiene encima. La fila n da los coeficientes de (a + b)ⁿ.
Término general
Sirve para calcular un término concreto sin desarrollar todo, por ejemplo el que no tiene x o el término central.
Ejemplos resueltos
Desarrollar (2x − 3)⁴
Coeficientes 1, 4, 6, 4, 1 con signos alternos: 16x⁴ − 96x³ + 216x² − 216x + 81.
Probar este ejemploDesarrollar (x + 1)⁵
Fila 5 del triángulo de Pascal: x⁵ + 5x⁴ + 10x³ + 10x² + 5x + 1.
Probar este ejemploUn poco de historia
Isaac Newton generalizó hacia 1665 el desarrollo de (a + b)ⁿ a exponentes fraccionarios y negativos, lo que da series infinitas. Para exponentes enteros era mucho más antiguo: sus coeficientes son los del triángulo de Pascal, conocido en la India, Persia y China siglos antes.
Preguntas frecuentes
¿Qué es el binomio de Newton?
La fórmula para desarrollar la potencia de un binomio: (a + b)ⁿ = Σ C(n, k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ, con k de 0 a n. Los coeficientes C(n, k) son los números del triángulo de Pascal.
¿Cómo se construye el triángulo de Pascal?
Se empieza con un 1 arriba; cada fila empieza y acaba en 1, y cada número interior es la suma de los dos que tiene encima. La fila 4 es 1 4 6 4 1.
¿Cuál es el desarrollo de (a + b)³?
a³ + 3a²b + 3ab² + b³. Los coeficientes 1, 3, 3, 1 son la fila 3 del triángulo de Pascal.
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