Desarrollar productos notables y polinomios

Escribe una expresión con x, como (2x − 3)², (x + 5)(x − 5) o 3x(x − 2) + x². Se desarrolla, se reconocen los productos notables y se agrupan los términos semejantes.

Resultado4x² − 12x + 9
Grado del polinomio2

Paso a paso

  1. La expresión es:

    (2x − 3)²

  2. Es el cuadrado de una diferencia: el cuadrado del primero, menos el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

    (a − b)² = a² − 2ab + b² (2x − 3)² = (2x)² − 2 · (2x) · 3 + 3²

  3. Desarrollamos: cada término de un paréntesis multiplica a cada término del otro (propiedad distributiva).

    = 4x² − 6x − 6x + 9

  4. Agrupamos los términos semejantes (los que tienen la misma potencia de x) y ordenamos de mayor a menor grado:

    = 4x² − 12x + 9

Los productos notables

(a + b)² = a² + 2ab + b² (a − b)² = a² − 2ab + b² (a + b)(a − b) = a² − b² (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Se llaman «notables» porque aparecen tanto que conviene saberlos de memoria en lugar de multiplicar término a término.

Ejemplo

(2x − 3)² = (2x)² − 2 · 2x · 3 + 3² = 4x² − 12x + 9

El error más común

(a + b)² no es a² + b²: falta el doble producto. Con números se ve claro: (3 + 4)² = 49, pero 3² + 4² = 25.

Multiplicar polinomios en general

Cada término del primer paréntesis multiplica a cada término del segundo, y después se suman los términos semejantes: (x + 2)(x² − x + 3) = x³ − x² + 3x + 2x² − 2x + 6 = x³ + x² + x + 6.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se desarrolla un binomio al cuadrado?

El cuadrado del primero, más (o menos) el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo: (x + 3)² = x² + 6x + 9.

¿Qué es una suma por diferencia?

El producto (a + b)(a − b), que siempre da a² − b². Por ejemplo, (x + 5)(x − 5) = x² − 25.

¿Cómo escribo las potencias?

Con ^ o con los superíndices: (x + 1)^3 o (x + 1)³. La multiplicación puede ir implícita: 3x(x − 2).

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