Calcular combinaciones, variaciones y permutaciones

Elige el tipo, escribe n (cuántos elementos hay) y k (cuántos se eligen). Si no sabes cuál usar, pregúntate: ¿importa el orden? ¿se pueden repetir?

En resumen

Si importa el orden y se eligen k de n, son variaciones: n! / (n − k)!; si no importa, combinaciones: C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!); si se ordenan todos, permutaciones: n!. Así, 5 personas se pueden ordenar de 5! = 120 formas, y en la Primitiva hay C(49, 6) = 13.983.816 combinaciones.

¿Cuál uso?

  • ¿Entran todos los elementos y solo cambia el orden? Permutaciones: n!.
  • ¿Se eligen k y importa el orden? Variaciones: podio de una carrera, contraseñas.
  • ¿Se eligen k y no importa el orden? Combinaciones: una mano de cartas, un equipo, la lotería.

Fórmulas

P(n) = n! V(n, k) = n! / (n − k)! VR(n, k) = nᵏ C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!) CR(n, k) = C(n + k − 1, k) Permutaciones con repetición: n! / (a! · b! · …)
  • n: número de elementos entre los que se elige.
  • k: cuántos se eligen.
  • n!: factorial de n, n · (n − 1) · … · 1 (4! = 24).
  • P, V y C: permutaciones, variaciones y combinaciones; con R, con repetición.

Ejemplos resueltos

De 8 corredores, ¿cuántos podios distintos?

Importa el orden: V(8, 3) = 8 · 7 · 6 = 336.

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¿Cuántos equipos de 3 se forman con 8 personas?

No importa el orden: C(8, 3) = 336 / 3! = 56.

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¿Cuántos PIN de 4 cifras hay?

Importa el orden y se repiten: VR(10, 4) = 10⁴ = 10 000.

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¿Cuántas combinaciones tiene la Primitiva (6 de 49)?

C(49, 6) = 13 983 816.

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¿De cuántas formas se pueden poner 5 personas en fila?

P(5) = 5! = 120.

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Y si hay elementos repetidos, se divide entre sus factoriales: las letras de CASA se ordenan de 4! / 2! = 12 formas, porque la A sale dos veces.

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Un poco de historia

El triángulo de números que da las combinaciones se conocía en la India, en Persia y en China siglos antes de que Blaise Pascal lo estudiara en 1654: en Italia se llama triángulo de Tartaglia y en China, de Yang Hui. La palabra «combinatoria» la popularizó Gottfried Leibniz con su Disertación sobre el arte combinatorio (1666).

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calculan las combinaciones?

Con C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!). Las formas de elegir 3 personas de 10, sin importar el orden, son 10! / (3! · 7!) = 120.

¿Qué diferencia hay entre variaciones y combinaciones?

En las variaciones importa el orden (ABC es distinto de CBA); en las combinaciones no (es el mismo grupo). Por eso hay más variaciones que combinaciones.

¿Cuánto vale 0!?

1, por convenio: hay exactamente una forma de ordenar cero elementos (no hacer nada).

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