Factorizar polinomios paso a paso: todos los casos de factorización

Escribe un polinomio en x. Verás qué caso de factorización se aplica en cada paso y el resultado completamente factorizado.

En resumen

Para factorizar un polinomio, primero se saca factor común, después se buscan identidades notables y, si no, las raíces con la fórmula de segundo grado o con Ruffini. Por ejemplo, 6x³ − 9x² = 3x²(2x − 3) y x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3), porque sus raíces son 2 y 3.

Cómo factorizar un polinomio

Factorizar es escribirlo como producto de factores más sencillos. Conviene seguir siempre este orden:

  1. Factor común: si todos los términos comparten un número o una potencia de x, se saca fuera. 6x³ − 9x² = 3x²(2x − 3).
  2. Identidades notables: diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto, suma y diferencia de cubos.
  3. Trinomios de segundo grado: buscando dos números o con las raíces de la ecuación.
  4. Ruffini: para grado 3 o más, probando los divisores del término independiente.

Los casos de factorización

Factor común: ab + ac = a(b + c) Diferencia de cuadrados: a² − b² = (a + b)(a − b) Trinomio cuadrado perf.: a² ± 2ab + b² = (a ± b)² x² + bx + c: (x + m)(x + n), con m · n = c y m + n = b ax² + bx + c: a(x − x₁)(x − x₂) Suma de cubos: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) Diferencia de cubos: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

Ejemplos

  • x² − 5x + 6: dos números que multiplicados den 6 y sumados −5 son −2 y −3 → (x − 2)(x − 3).
  • 4x² − 12x + 9: 4x² = (2x)², 9 = 3² y 12x = 2 · 2x · 3 → (2x − 3)².
  • 3x³ − 12x = 3x(x² − 4) = 3x(x + 2)(x − 2).

¿Cuándo no se puede factorizar más?

Un trinomio de segundo grado con discriminante negativo (x² + x + 1) no se descompone con números reales, y uno con raíces irracionales (x² − 2) no se descompone con números enteros o fracciones.

Un poco de historia

El teorema fundamental del álgebra dice que todo polinomio se puede descomponer en factores de primer grado si se admiten los números complejos. Gauss dio la primera demostración casi completa en su tesis doctoral de 1799, con 22 años.

Preguntas frecuentes

¿Cuál es el primer paso para factorizar?

Sacar factor común si lo hay. Después mira si es una identidad notable (diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto…) y, si es de grado 3 o más, usa Ruffini.

¿Cómo se factoriza un trinomio x² + bx + c?

Busca dos números que multiplicados den c y sumados den b. Para x² + 7x + 12 son 3 y 4: (x + 3)(x + 4).

¿Cómo sé si es un trinomio cuadrado perfecto?

El primer y el último término son cuadrados perfectos y el del medio es el doble del producto de sus raíces: x² + 6x + 9 = (x + 3)², porque 6x = 2 · x · 3.

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