Regla de Ruffini: dividir y factorizar polinomios

Escribe el polinomio. Si pones un valor de a, se divide entre (x − a); si lo dejas vacío, se factoriza el polinomio buscando sus raíces con Ruffini.

En resumen

La regla de Ruffini divide un polinomio entre (x − a): se bajan los coeficientes, se multiplica por a y se suma columna a columna. Al dividir x³ − 6x² + 11x − 6 entre (x − 1) sale el cociente x² − 5x + 6 con resto 0, así que x = 1 es una raíz.

Cómo se aplica la regla de Ruffini

Sirve para dividir un polinomio entre (x − a) de forma rápida. Por ejemplo, x³ − 6x² + 11x − 6 entre (x − 1):

1 −6 11 −6 1 1 −5 6 ──────────────── 1 −5 6 | 0
  1. Escribe los coeficientes ordenados, con un 0 en los grados que falten.
  2. Baja el primero tal cual.
  3. Multiplícalo por a, ponlo debajo del siguiente coeficiente y súmalos.
  4. Repite hasta el final. El último número es el resto; los demás, el cociente.

Aquí el cociente es x² − 5x + 6 y el resto 0: la división es exacta.

Factorizar con Ruffini

Las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del término independiente. Se prueban con Ruffini; cada vez que el resto da 0, se ha encontrado una raíz a y un factor (x − a), y se sigue con el cociente.

x³ − 6x² + 11x − 6 = (x − 1)(x − 2)(x − 3)

Teorema del resto

El resto de dividir P(x) entre (x − a) es P(a). Si P(a) = 0, a es raíz y (x − a) divide al polinomio.

Un poco de historia

Paolo Ruffini publicó en 1804 el método para dividir un polinomio entre x − a, y William George Horner lo publicó por su cuenta en 1819; por eso en inglés se llama método de Horner. Ruffini es conocido también por intentar demostrar en 1799 que la ecuación general de quinto grado no se puede resolver con raíces.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se aplica la regla de Ruffini?

Se escriben los coeficientes del polinomio (con 0 en los grados que falten) y a la izquierda el número a. Se baja el primer coeficiente, se multiplica por a, se suma al siguiente y se repite. El último número es el resto.

¿Qué hago si falta algún grado en el polinomio?

Hay que poner un 0 en su lugar al escribir los coeficientes. La calculadora lo hace sola: x³ − 1 se trata como x³ + 0x² + 0x − 1.

¿Qué números pruebo como raíces?

Los divisores del término independiente, positivos y negativos. Si el coeficiente principal no es 1, también las fracciones divisor del independiente entre divisor del principal.

¿Puedo dividir entre (x + 3)?

Sí: x + 3 es x − (−3), así que escribe a = −3.

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