Función cuadrática: calcular el vértice de la parábola, sus raíces y su gráfica

Escribe los coeficientes de y = ax² + bx + c. Verás todos los elementos de la parábola, cómo completar el cuadrado y su gráfica.

En resumen

En la parábola y = ax² + bx + c, el vértice está en x = −b / 2a, y las raíces se calculan con la fórmula de segundo grado. Para y = x² − 4x + 3, el vértice es (2, −1) (un mínimo, porque a > 0) y corta al eje x en x = 1 y x = 3.

Elementos de la parábola y = ax² + bx + c

  • Vértice: x = −b / 2a; la y se obtiene sustituyendo. Es el mínimo si a > 0 y el máximo si a < 0.
  • Eje de simetría: la recta vertical que pasa por el vértice, x = −b / 2a.
  • Raíces o ceros: donde corta al eje x; se hallan con la fórmula de la ecuación de segundo grado.
  • Corte con el eje y: el punto (0, c).
  • Orientación: si a > 0 abre hacia arriba (∪) y si a < 0, hacia abajo (∩). Cuanto mayor es |a|, más cerrada.

Completar el cuadrado: la forma canónica

y = a(x − h)² + k, con (h, k) el vértice x² − 4x + 3 = (x² − 4x + 4) − 4 + 3 = (x − 2)² − 1
  • a, b y c: los coeficientes de y = ax² + bx + c. Si a > 0 la parábola abre hacia arriba; si a < 0, hacia abajo.
  • (h, k): el vértice, con h = −b / (2a).
  • x₁ y x₂: las raíces, donde la parábola corta al eje X.

Se toma la mitad del coeficiente de x (−4 / 2 = −2), se suma y se resta su cuadrado (4) y se agrupa el trinomio cuadrado perfecto. Así se ve directamente el vértice: (2, −1).

Tres formas de escribir la misma parábola

General: y = x² − 4x + 3 Canónica: y = (x − 2)² − 1 Factorizada: y = (x − 1)(x − 3)

Ejemplos resueltos

y = x² − 4x + 3

Vértice en x = 4 / 2 = 2, y(2) = −1: (2, −1), un mínimo. Raíces x = 1 y x = 3. Corta al eje Y en (0, 3).

Probar este ejemplo

y = −2x² + 4x + 6

a < 0: abre hacia abajo. Vértice (1, 8), un máximo. Raíces x = −1 y x = 3.

Probar este ejemplo

y = x² + 2x + 5

Vértice (−1, 4). Como el mínimo está por encima del eje X, no tiene raíces reales.

Probar este ejemplo

Un poco de historia

Galileo demostró en 1638 que un proyectil describe una parábola, la gráfica de una función cuadrática. El nombre «parábola» se lo dio Apolonio de Perga hacia el 200 a. C. al estudiar las curvas que salen al cortar un cono.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula el vértice de una parábola?

La x del vértice es −b / 2a, y la y se obtiene sustituyendo esa x en la función. Para y = x² − 4x + 3: x = 4/2 = 2 e y = 4 − 8 + 3 = −1, así que el vértice es (2, −1).

¿Cómo sé si la parábola tiene máximo o mínimo?

Por el signo de a: si a es positivo, abre hacia arriba y el vértice es un mínimo; si es negativo, abre hacia abajo y el vértice es un máximo.

¿Qué es completar el cuadrado?

Reescribir ax² + bx + c como a(x − h)² + k sumando y restando el cuadrado de la mitad del coeficiente de x. Sirve para ver el vértice y para deducir la fórmula de la ecuación de segundo grado.

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