Calcular progresiones aritméticas y geométricas

Elige el tipo, escribe el primer término, la diferencia (aritmética) o la razón (geométrica) y hasta qué término quieres llegar.

En resumen

En una progresión aritmética, aₙ = a₁ + (n − 1) · d; en una geométrica, aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹. En 3, 7, 11… (d = 4) el término 10 es 3 + 9 · 4 = 39 y la suma de los 10 primeros, (3 + 39) · 10 / 2 = 210. En 2, 6, 18… (r = 3) el sexto es 2 · 3⁵ = 486.

Progresión aritmética

Cada término se obtiene sumando al anterior la misma cantidad d (la diferencia): 3, 7, 11, 15… (d = 4).

aₙ = a₁ + (n − 1) · d Sₙ = (a₁ + aₙ) · n / 2
  • a₁: primer término, y aₙ: el término que ocupa el lugar n.
  • d: diferencia (lo que se suma cada vez), y r: razón (por lo que se multiplica, en la geométrica).
  • n: número de términos.
  • Sₙ: suma de los n primeros términos.

Cuenta la leyenda que Gauss, de niño, sumó del 1 al 100 en segundos: 50 parejas que suman 101, 5050.

Progresión geométrica

Cada término se obtiene multiplicando el anterior por la misma cantidad r (la razón): 2, 6, 18, 54… (r = 3).

aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹ Sₙ = a₁ · (rⁿ − 1) / (r − 1) S∞ = a₁ / (1 − r) si |r| < 1

Ejemplos resueltos

Progresión aritmética 3, 7, 11… (d = 4): término 10 y suma

a₁₀ = 3 + 9 · 4 = 39 y S₁₀ = (3 + 39) · 10 / 2 = 210.

Probar este ejemplo

Suma de los números del 1 al 100

S₁₀₀ = (1 + 100) · 100 / 2 = 5050.

Probar este ejemplo

Progresión geométrica 2, 6, 18… (r = 3): término 6 y suma

a₆ = 2 · 3⁵ = 486 y S₆ = 2 · (3⁶ − 1) / (3 − 1) = 728.

Probar este ejemplo

Un poco de historia

Según una anécdota muy repetida, de niño a Gauss le pidieron sumar los números del 1 al 100 y lo hizo en segundos emparejándolos: 1 + 100, 2 + 99… son 50 parejas de 101. Las progresiones geométricas aparecen ya en el papiro de Rhind y en la leyenda del inventor del ajedrez, que pidió un grano de trigo en la primera casilla y el doble en cada una de las siguientes.

Preguntas frecuentes

¿Cuáles son las fórmulas de las progresiones?

Aritmética: aₙ = a₁ + (n − 1) · d y suma Sₙ = (a₁ + aₙ) · n / 2. Geométrica: aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹ y Sₙ = a₁ · (rⁿ − 1) / (r − 1). En 2, 5, 8, 11… (d = 3), el término 10 es a₁₀ = 2 + 9 · 3 = 29.

¿Cómo se calcula el término general de una progresión?

En una aritmética, aₙ = a₁ + (n − 1) · d; en una geométrica, aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹, donde d es la diferencia y r la razón.

¿Cómo sé si una sucesión es aritmética o geométrica?

Si la diferencia entre términos seguidos es siempre la misma, es aritmética. Si lo que se mantiene es el cociente, es geométrica.

¿Cuánto suman 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …?

2. Es una geométrica con a₁ = 1 y r = 1/2: S∞ = 1 / (1 − 1/2) = 2.

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