Resolver sistemas de ecuaciones 3×3 por Gauss

Escribe las tres ecuaciones con x, y, z, como 2x + y − z = 3. Si falta una incógnita, simplemente no la pongas.

En resumen

Un sistema 3 × 3 se resuelve por Gauss: se hacen ceros combinando ecuaciones hasta que la última tenga una sola incógnita, y luego se sustituye hacia arriba. Por ejemplo, el sistema x + y + z = 6, 2x − y + z = 3, x + 2y − z = 2 tiene la solución x = 1, y = 2, z = 3.

El método de Gauss

  1. Escribe la matriz ampliada: coeficientes y términos independientes.
  2. Haz ceros debajo de la diagonal combinando filas (restar a una fila un múltiplo de otra no cambia las soluciones).
  3. Con la matriz escalonada, la última ecuación tiene una sola incógnita: despéjala y sube sustituyendo.
x + y + z = 6 2x − y + z = 3 → x = 1, y = 2, z = 3 x + 2y − z = 2

Tipos de sistema (teorema de Rouché-Frobenius)

  • Compatible determinado: rango = 3; una única solución.
  • Compatible indeterminado: rangos iguales pero menores que 3; infinitas soluciones.
  • Incompatible: el rango de la ampliada es mayor; no hay solución.

Un poco de historia

El método de eliminación ya aparece en el libro chino Los nueve capítulos (hacia el siglo I). Lleva el nombre de Gauss porque lo usó a principios del siglo XIX para calcular la órbita del asteroide Palas con muchas ecuaciones a la vez.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se resuelve un sistema por el método de Gauss?

Se escribe la matriz ampliada y se hacen ceros debajo de la diagonal combinando filas, hasta dejarla escalonada. Luego se despeja z en la última ecuación y se sustituye hacia arriba.

¿Cómo escribo una ecuación a la que le falta una incógnita?

No la pongas: «x + 2z = 5» es válida (el coeficiente de y es 0). También puedes usar fracciones como 1/2x.

¿Y la regla de Cramer?

Da el mismo resultado usando determinantes (x = |Aₓ| / |A|…). Solo vale si el determinante del sistema no es 0; Gauss funciona siempre.

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