Resolver sistemas de ecuaciones 3×3 por Gauss

Escribe las tres ecuaciones con x, y, z, como 2x + y − z = 3. Si falta una incógnita, simplemente no la pongas.

El método de Gauss

  1. Escribe la matriz ampliada: coeficientes y términos independientes.
  2. Haz ceros debajo de la diagonal combinando filas (restar a una fila un múltiplo de otra no cambia las soluciones).
  3. Con la matriz escalonada, la última ecuación tiene una sola incógnita: despéjala y sube sustituyendo.
x + y + z = 6 2x − y + z = 3 → x = 1, y = 2, z = 3 x + 2y − z = 2

Tipos de sistema (teorema de Rouché-Frobenius)

  • Compatible determinado: rango = 3; una única solución.
  • Compatible indeterminado: rangos iguales pero menores que 3; infinitas soluciones.
  • Incompatible: el rango de la ampliada es mayor; no hay solución.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se resuelve un sistema por el método de Gauss?

Se escribe la matriz ampliada y se hacen ceros debajo de la diagonal combinando filas, hasta dejarla escalonada. Luego se despeja z en la última ecuación y se sustituye hacia arriba.

¿Cómo escribo una ecuación a la que le falta una incógnita?

No la pongas: «x + 2z = 5» es válida (el coeficiente de y es 0). También puedes usar fracciones como 1/2x.

¿Y la regla de Cramer?

Da el mismo resultado usando determinantes (x = |Aₓ| / |A|…). Solo vale si el determinante del sistema no es 0; Gauss funciona siempre.

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