Resolver ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto

Escribe a, b y c de |ax + b| y elige la relación. Por ejemplo, |2x − 3| ≤ 5 es a = 2, b = −3, c = 5.

En resumen

El valor absoluto es la distancia a 0, y se resuelve separando en dos casos: |x − 3| = 5 significa x − 3 = 5 o x − 3 = −5, es decir, x = 8 o x = −2. Y |x − 3| < 5 es −5 < x − 3 < 5, es decir, −2 < x < 8.

Reglas del valor absoluto

|u| = c ⇔ u = c o u = −c (c ≥ 0) |u| < c ⇔ −c < u < c |u| > c ⇔ u < −c o u > c

El valor absoluto de un número es su distancia al 0: |−3| = |3| = 3. Por eso |x − 2| < 5 significa «los números a menos de 5 unidades del 2», el intervalo (−3, 7).

Ejemplo

|2x − 3| ≤ 5 → −5 ≤ 2x − 3 ≤ 5 → −2 ≤ 2x ≤ 8 → −1 ≤ x ≤ 4

Si c es negativo, |u| = c y |u| < c no tienen solución, y |u| > c se cumple siempre.

Un poco de historia

La idea del valor absoluto como distancia a cero es antigua, pero las barras |x| para escribirlo las introdujo Karl Weierstrass en 1841.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se resuelve una ecuación con valor absoluto?

Se separa en dos: lo de dentro igual a c y lo de dentro igual a −c. |x − 3| = 5 da x = 8 y x = −2.

¿Cómo se resuelve |x| < a?

Es el intervalo −a < x < a: los números a menos de a unidades del 0.

¿Puede el valor absoluto ser negativo?

No. Por eso |x + 1| = −3 no tiene solución.

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