Calcular probabilidades con la distribución binomial

Escribe el número de intentos n, la probabilidad de éxito p en cada uno (entre 0 y 1) y el número de éxitos k que te interesa.

En resumen

En una distribución binomial B(n, p), la probabilidad de k éxitos es P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ. La probabilidad de sacar exactamente 5 caras en 10 lanzamientos de una moneda es C(10, 5) · 0,5¹⁰ = 252 / 1024 ≈ 0,246 (un 24,6 %).

Cuándo es binomial

Una variable sigue una distribución binomial B(n, p) si cuenta los éxitos en n intentos que:

  • solo tienen dos resultados (éxito o fracaso),
  • son independientes entre sí,
  • y tienen siempre la misma probabilidad de éxito p.

Fórmula

P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ μ = n · p σ = √(n · p · (1 − p))
  • n: número de intentos.
  • p: probabilidad de éxito en cada intento (entre 0 y 1).
  • k: número de éxitos que buscas.
  • C(n, k): combinaciones de n elementos tomados de k en k, n! / (k! · (n − k)!).
  • μ: media y σ: desviación típica.

Ejemplos resueltos

Exactamente 7 caras en 10 lanzamientos de una moneda

C(10, 7) · 0,5⁷ · 0,5³ = 120 / 1024 ≈ 0,1172 (un 11,7 %).

Probar este ejemplo

Exactamente 5 caras en 10 lanzamientos

C(10, 5) · 0,5¹⁰ = 252 / 1024 ≈ 0,2461 (un 24,6 %).

Probar este ejemplo

Acertar 5 de 10 preguntas tipo test (4 opciones) contestando al azar

C(10, 5) · 0,25⁵ · 0,75⁵ ≈ 0,0584 (un 5,8 %).

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Si el 5 % de las piezas sale defectuosa, ¿probabilidad de 2 defectuosas en 20?

C(20, 2) · 0,05² · 0,95¹⁸ ≈ 0,1887 (un 18,9 %).

Probar este ejemplo

Si n es grande, la binomial se parece a una normal con la misma media y desviación típica.

Un poco de historia

Jakob Bernoulli estudió la distribución binomial en Ars Conjectandi, publicado en 1713, ocho años después de su muerte. En ese libro demostró la primera ley de los grandes números: al repetir muchas veces un experimento, la frecuencia de un resultado se acerca a su probabilidad.

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la fórmula de la distribución binomial?

P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, con C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!). La probabilidad de sacar exactamente 2 caras en 4 lanzamientos es C(4, 2) · 0,5² · 0,5² = 6 / 16 = 0,375.

¿Cómo se calcula una probabilidad binomial?

Con P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ. Sacar exactamente dos seises en cinco tiradas: C(5, 2) · (1/6)² · (5/6)³ ≈ 0,161.

¿Qué diferencia hay entre P(X ≤ k) y P(X < k)?

La primera incluye el propio k y la segunda no. En la binomial, que es discreta, eso cambia el resultado: P(X < k) = P(X ≤ k − 1).

¿Cómo pongo p si me dan un porcentaje?

En tanto por uno: un 30 % es p = 0,3.

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