Calcular probabilidades con la distribución normal

Escribe la media y la desviación típica, y un valor a. Si pones también b, se calcula la probabilidad de estar entre a y b.

En resumen

Para calcular probabilidades con una normal N(μ, σ) se tipifica, z = (x − μ) / σ, y se busca z en la tabla de la N(0, 1). Si las alturas siguen una N(170, 7), la probabilidad de medir menos de 180 cm es P(Z ≤ 1,43) ≈ 0,923 (un 92,3 %).

La distribución normal

Muchas medidas naturales (alturas, errores de medida, notas de exámenes grandes) se reparten con forma de campana: la mayoría cerca de la media y cada vez menos hacia los extremos. Se escribe N(μ, σ).

Tipificar

z = (x − μ) / σ

Convierte cualquier normal en la estándar N(0, 1), que es la que aparece en las tablas. z dice a cuántas desviaciones típicas está x de la media.

La regla 68-95-99,7

  • El 68 % de los datos está a menos de 1σ de la media.
  • El 95 %, a menos de 2σ (exactamente, 1,96σ).
  • El 99,7 %, a menos de 3σ.

Ejemplo

Si las alturas siguen N(170, 8) cm, ¿qué proporción mide menos de 180 cm? z = (180 − 170) / 8 = 1,25 → P(Z ≤ 1,25) ≈ 0,8944: casi el 89,4 %.

Un poco de historia

Abraham de Moivre la descubrió en 1733 como aproximación de la distribución binomial. Carl Friedrich Gauss la usó en 1809 para los errores de medida, y por eso se llama campana de Gauss aunque la de De Moivre es anterior. Aparecía, junto al retrato de Gauss, en el antiguo billete alemán de 10 marcos.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula una probabilidad en la distribución normal?

Se tipifica, z = (x − μ) / σ, y se busca en la tabla de la normal estándar N(0, 1). Por ejemplo, en una N(170, 10), P(X ≤ 180) = P(Z ≤ 1) = 0,8413.

¿Qué es la normal estándar?

La normal con media 0 y desviación típica 1, N(0, 1). Todas las normales se reducen a ella tipificando.

¿P(X ≤ a) y P(X < a) son iguales?

En la normal, sí: es una variable continua y la probabilidad de un valor exacto es 0.

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