Calcular probabilidades con la distribución hipergeométrica

Escribe el tamaño de la población N, cuántos «éxitos» hay en ella K, cuántos extraes n (sin devolver) y cuántos éxitos quieres k.

En resumen

La hipergeométrica sirve para extracciones sin devolución: P(X = k) = C(K, k) · C(N − K, n − k) / C(N, n). Sacando 5 cartas de una baraja española de 40, la probabilidad de que 2 sean oros (hay 10) es C(10, 2) · C(30, 3) / C(40, 5) ≈ 0,278.

Cuándo es hipergeométrica

Cuando se extraen elementos sin devolverlos, de modo que la probabilidad cambia en cada extracción: cartas de una baraja, bolas de una urna, piezas de un lote que se inspeccionan. Si se devolvieran, sería binomial.

Fórmula

P(X = k) = C(K, k) · C(N − K, n − k) / C(N, n) μ = n · K / N
  • N: tamaño de la población (por ejemplo, las 40 cartas).
  • K: cuántos «éxitos» hay en la población (los 10 oros).
  • n: cuántos se sacan, sin devolverlos.
  • k: cuántos éxitos buscas entre los que sacas.
  • C(a, b): combinaciones de a elementos tomados de b en b, y μ: la media.

Ejemplos resueltos

Baraja española: se reparten 5 de las 40 cartas. ¿Probabilidad de exactamente 2 oros?

C(10, 2) · C(30, 3) / C(40, 5) = 45 · 4060 / 658 008 ≈ 0,2777.

Probar este ejemplo

De 20 piezas, 6 son defectuosas. Si se revisan 4, ¿probabilidad de no encontrar ninguna?

C(6, 0) · C(14, 4) / C(20, 4) = 1001 / 4845 ≈ 0,2066.

Probar este ejemplo

Primitiva: probabilidad de acertar exactamente 3 de los 6 números

C(6, 3) · C(43, 3) / C(49, 6) = 20 · 12 341 / 13 983 816 ≈ 0,0177 (1 de cada 57).

Probar este ejemplo

Si la población es muy grande comparada con la muestra (N > 20n), la hipergeométrica y la binomial con p = K/N casi coinciden.

Un poco de historia

Es la distribución de las extracciones sin reemplazo, como sacar cartas de una baraja. Ronald Fisher la usó en su prueba exacta, que explicó con el famoso experimento de la dama que decía distinguir si en su té con leche se había echado primero la leche o el té.

Preguntas frecuentes

¿Cuándo se usa la distribución hipergeométrica?

Cuando se extrae sin reemplazo de una población finita con dos tipos de elementos, y se quiere la probabilidad de un número concreto de uno de ellos.

¿Qué diferencia hay con la binomial?

En la binomial la probabilidad de éxito es la misma en cada intento (con reemplazo); en la hipergeométrica cambia porque no se devuelven los elementos.

¿Cuál es la probabilidad de acertar 3 números en la Primitiva?

Es hipergeométrica con N = 49, K = 6, n = 6 y k = 3: C(6, 3) · C(43, 3) / C(49, 6) ≈ 0,01765, un 1,8 %.

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