Calcular un intervalo de confianza para la media

Escribe la media y el tamaño de la muestra, la desviación típica y el nivel de confianza. Si pones el error que quieres, verás qué tamaño de muestra necesitas.

En resumen

El intervalo de confianza para la media es x̄ ± z · σ / √n, con z = 1,96 para el 95 %. Si una muestra de 100 personas tiene una media de 170 cm y σ = 10 cm, el intervalo al 95 % es 170 ± 1,96 · 10 / 10, es decir, (168,04; 171,96) cm.

Qué es un intervalo de confianza

Con una muestra no se conoce la media exacta de la población, pero sí un intervalo donde probablemente está. Un intervalo al 95 % significa que, si repitiéramos el muestreo muchas veces, el 95 % de los intervalos así calculados contendrían la media real.

(x̄ − z · σ/√n , x̄ + z · σ/√n)
  • x̄: media de la muestra.
  • σ: desviación típica (de la población, o la de la muestra si no se conoce).
  • n: tamaño de la muestra.
  • z: valor crítico del nivel de confianza (1,96 para el 95 %).
  • E = z · σ / √n: el error máximo, la mitad del ancho del intervalo.

Valores críticos más usados

  • 90 %: z = 1,645 · 95 %: z = 1,96 · 99 %: z = 2,576

Tamaño de la muestra

n = (z · σ / E)²

Para reducir el error a la mitad hace falta una muestra cuatro veces mayor.

Ejemplos resueltos

Muestra de 100 personas con media 170 cm y σ = 8 cm, al 95 %

E = 1,96 · 8 / √100 ≈ 1,57 cm, así que el intervalo es (168,43; 171,57) cm.

Probar este ejemplo

La misma muestra al 99 %

E = 2,576 · 8 / 10 ≈ 2,06 cm: (167,94; 172,06) cm. Más confianza, intervalo más ancho.

Probar este ejemplo

36 alumnos con nota media 6,2 y σ = 1,5, al 90 %

E = 1,645 · 1,5 / √36 ≈ 0,41, así que el intervalo es (5,79; 6,61).

Probar este ejemplo

Un poco de historia

Jerzy Neyman introdujo los intervalos de confianza en 1937 para expresar la incertidumbre de una estimación: no un único número, sino un rango con una probabilidad conocida de contener el valor real.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula un intervalo de confianza?

Con x̄ ± z · σ / √n, donde z depende del nivel de confianza (1,96 para el 95 %). Con media 50, σ = 10 y n = 100: 50 ± 1,96 · 1, es decir, de 48,04 a 51,96.

¿Por qué un nivel de confianza mayor da un intervalo más ancho?

Para estar más seguro de acertar hay que abarcar más valores. Es un equilibrio entre confianza y precisión.

¿Qué desviación típica uso si no conozco la de la población?

La de la muestra, como aproximación. Si la muestra es pequeña, conviene usar la distribución t de Student.

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