Calcular probabilidades con el teorema de Bayes

Escribe la probabilidad inicial de A, la de B si ocurre A y la de B si no ocurre A (en %). Ejemplo: A = tener la enfermedad, B = dar positivo en el test.

En resumen

El teorema de Bayes da la vuelta a una probabilidad condicionada: P(A|B) = P(A) · P(B|A) / P(B). Si una enfermedad la tiene el 1 % y un test la detecta en el 99 % de los enfermos pero da un 5 % de falsos positivos, un positivo solo significa estar enfermo con 0,0099 / 0,0594 ≈ 16,7 % de probabilidad.

El teorema de Bayes

P(A|B) = P(A) · P(B|A) / P(B)

Permite «dar la vuelta» a una probabilidad condicionada: si sabes P(B|A), calcula P(A|B). P(B) sale de la probabilidad total:

P(B) = P(A) · P(B|A) + P(no A) · P(B|no A)
  • P(A): probabilidad inicial de A, antes de saber nada (por ejemplo, estar enfermo).
  • P(B|A): probabilidad de B si ocurre A (dar positivo estando enfermo).
  • P(B|no A): probabilidad de B si no ocurre A (falso positivo).
  • P(B): probabilidad total de B, y P(A|B): la que buscamos, A sabiendo que ha pasado B.

El ejemplo clásico: un test médico

Una enfermedad la tiene el 1 % de la población. Un test la detecta en el 95 % de los enfermos y da falso positivo en el 5 % de los sanos. Si das positivo, ¿qué probabilidad hay de que estés enfermo? Solo un 16 %: de cada 10 000 personas, 95 enfermos dan positivo, pero también 495 sanos.

Por eso los positivos en pruebas de cribado se confirman con una segunda prueba.

Ejemplos resueltos

Enfermedad del 1 %, test que detecta el 95 % y da un 5 % de falsos positivos

P(+) = 0,01 · 0,95 + 0,99 · 0,05 = 0,059 y P(enfermo | +) = 0,0095 / 0,059 ≈ 16,1 %.

Probar este ejemplo

El mismo test si la enfermedad la tiene el 10 %

P(+) = 0,1 · 0,95 + 0,9 · 0,05 = 0,14 y P(enfermo | +) = 0,095 / 0,14 ≈ 67,9 %.

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El 40 % del correo es spam; «gratis» sale en el 30 % del spam y en el 2 % del correo normal

P(gratis) = 0,4 · 0,3 + 0,6 · 0,02 = 0,132 y P(spam | gratis) = 0,12 / 0,132 ≈ 90,9 %.

Probar este ejemplo

Un poco de historia

Lo formuló el reverendo presbiteriano Thomas Bayes, pero nunca lo publicó: su amigo Richard Price encontró el manuscrito tras su muerte y lo presentó en la Royal Society de Londres en 1763. Pierre-Simon Laplace lo redescubrió por su cuenta en 1774 y le dio la forma general que usamos.

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la fórmula del teorema de Bayes?

P(A|B) = P(B|A) · P(A) / P(B), donde P(B) sale de la probabilidad total: P(B|A) · P(A) + P(B|no A) · P(no A). Con una prueba que detecta el 99 % de los enfermos, un 5 % de falsos positivos y una enfermedad del 1 %: P(enfermo | positivo) = 0,0099 / (0,0099 + 0,0495) ≈ 16,7 %.

¿Cómo se aplica el teorema de Bayes?

P(A|B) = P(B|A) · P(A) / P(B), donde P(B) se calcula con la probabilidad total: sumando todos los caminos del árbol que llevan a B.

¿Qué diferencia hay entre P(A|B) y P(B|A)?

P(B|A) es la probabilidad de B sabiendo A; P(A|B), la de A sabiendo B. Suelen ser muy distintas: la probabilidad de dar positivo si estás enfermo no es la de estar enfermo si das positivo.

¿Qué es la probabilidad total?

La probabilidad de B sumando todos los caminos por los que puede ocurrir: con A y sin A.

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