Calcular el periodo y la frecuencia de un movimiento armónico simple

Escribe la masa y la constante del muelle. Con la amplitud verás las velocidades, aceleraciones y la energía; con un tiempo, dónde está el cuerpo en ese momento (sale del extremo, x = A, en t = 0).

En resumen

En un muelle, el movimiento armónico simple tiene un periodo T = 2π · √(m / k) y una frecuencia f = 1 / T. Una masa de 0,5 kg en un muelle de k = 200 N/m oscila con T = 2π · √(0,5 / 200) ≈ 0,314 s, unas 3,18 oscilaciones por segundo.

Ecuaciones del movimiento armónico simple

x(t) = A · cos(ωt + φ) v(t) = −A · ω · sen(ωt + φ) a(t) = −ω² · x

Un cuerpo describe un MAS cuando la fuerza que lo devuelve al centro es proporcional a lo que se aleja: F = −k · x (la ley de Hooke).

  • x: posición respecto al centro, en metros, y A: amplitud, la separación máxima.
  • ω: pulsación o frecuencia angular, en rad/s, y φ: fase inicial.
  • t: tiempo, en segundos.
  • v y a: velocidad y aceleración.
  • T: periodo, f: frecuencia, m: masa y k: constante del muelle.

Periodo de un muelle

T = 2π · √(m / k) f = 1 / T ω = 2π · f

El periodo no depende de la amplitud: si estiras más el muelle, va más rápido, pero tarda lo mismo en cada oscilación. Cuadruplicar la masa duplica el periodo.

Energía

E = ½ · k · A² = ½ · m · v_máx²

Ejemplos resueltos

Una masa de 0,5 kg en un muelle de 200 N/m que oscila con 10 cm de amplitud

ω = √(200 / 0,5) = 20 rad/s, T = 2π / 20 ≈ 0,314 s, v_máx = 0,1 · 20 = 2 m/s y E = ½ · 200 · 0,1² = 1 J.

Probar este ejemplo

Una masa de 2 kg en un muelle de 50 N/m

ω = √(50 / 2) = 5 rad/s y T = 2π / 5 ≈ 1,26 s.

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En el primer caso, ¿dónde está la masa a los 0,1 s si sale del extremo?

x = 0,1 · cos(20 · 0,1) = 0,1 · cos 2 ≈ −0,042 m: ya ha pasado al otro lado del centro.

Probar este ejemplo

Un poco de historia

Galileo observó que un péndulo tarda casi lo mismo en cada oscilación aunque se mueva más o menos. La ley de Hooke (1676) explicó por qué un muelle oscila siempre con el mismo periodo, y Christiaan Huygens aprovechó estas ideas para construir en 1656 el primer reloj de péndulo: los relojes pasaron de desviarse unos quince minutos al día a unos quince segundos.

Preguntas frecuentes

¿Cuáles son las fórmulas del movimiento armónico simple?

x = A · cos(ω · t), velocidad máxima A · ω y aceleración máxima A · ω². En un muelle, ω = √(k / m) y T = 2π · √(m / k). Una masa de 0,5 kg en un muelle de 200 N/m oscila con T = 2π · √(0,5 / 200) ≈ 0,31 s.

¿Cómo se calcula el periodo de un muelle?

Con T = 2π · √(m / k). Una masa de 0,5 kg en un muelle de 200 N/m oscila con un periodo de 0,314 s, unas 3,18 veces por segundo.

¿Dónde es máxima la velocidad en un MAS?

En el centro (x = 0), donde vale A · ω. En los extremos la velocidad es cero y la aceleración es máxima, A · ω².

¿Y el péndulo?

Para oscilaciones pequeñas también es un MAS, pero su periodo depende de la longitud y de la gravedad: T = 2π · √(L / g). Tienes una calculadora para el péndulo simple.

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