Calcular el área de un polígono regular
Escribe el número de lados y la longitud de un lado. Verás la apotema, el área, el perímetro, el radio y los ángulos, con el dibujo.
En resumen
El área de un polígono regular es perímetro · apotema / 2, con apotema = lado / (2 · tg(180° / n)). Un hexágono de 4 cm de lado tiene un perímetro de 24 cm y una apotema de 3,46 cm, así que su área es 24 · 3,46 / 2 ≈ 41,57 cm².
Fórmulas de los polígonos regulares
Un polígono regular tiene todos los lados y ángulos iguales. La apotema es la distancia del centro al punto medio de un lado; el radio, la distancia del centro a un vértice.
- n: número de lados (5 el pentágono, 6 el hexágono, 8 el octógono…).
- lado: lo que mide cada lado.
- apotema: distancia del centro al punto medio de un lado.
- perímetro: la suma de los lados, y área: en unidades cuadradas.
El hexágono, un caso especial
En el hexágono regular el radio mide lo mismo que el lado, porque está formado por seis triángulos equiláteros. Su apotema es lado · √3 / 2 y su área, 3√3 · lado² / 2 ≈ 2,598 · lado².
Ejemplos resueltos
Hexágono regular de 4 cm de lado
Perímetro = 6 · 4 = 24 cm, apotema = 4 / (2 · tg 30°) ≈ 3,46 cm y área = 24 · 3,46 / 2 ≈ 41,57 cm².
Probar este ejemploPentágono regular de 10 cm de lado
Perímetro = 50 cm, apotema = 10 / (2 · tg 36°) ≈ 6,88 cm y área = 50 · 6,88 / 2 ≈ 172 cm².
Probar este ejemploUna señal de stop (octógono) de 25 cm de lado
Perímetro = 200 cm, apotema = 25 / (2 · tg 22,5°) ≈ 30,18 cm y área = 200 · 30,18 / 2 ≈ 3018 cm².
Probar este ejemploÁngulos interiores más comunes
- Triángulo equilátero: 60° · Cuadrado: 90° · Pentágono: 108°
- Hexágono: 120° · Octógono: 135° · Decágono: 144°
Un poco de historia
Arquímedes (siglo III a. C.) usó polígonos regulares de hasta 96 lados, dentro y fuera de una circunferencia, para demostrar que π está entre 3 10/71 y 3 1/7. Dos mil años después, en 1796, Carl Friedrich Gauss probó con 19 años que el polígono regular de 17 lados se puede construir con regla y compás, un problema que seguía abierto desde los griegos.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula el área de un hexágono regular?
Con A = perímetro · apotema / 2. En un hexágono regular la apotema es lado · √3 / 2, así que A = 3√3 / 2 · lado² ≈ 2,598 · lado².
¿Cómo se calcula el área de un pentágono regular?
Multiplica el perímetro por la apotema y divide entre 2. Si no conoces la apotema, es lado / (2 · tg 36°) ≈ 0,688 · lado.
¿Qué es la apotema?
El segmento que une el centro del polígono con el punto medio de uno de sus lados. Es perpendicular a ese lado.
¿Cuánto suman los ángulos interiores de un polígono?
(n − 2) · 180°, donde n es el número de lados. Un pentágono suma 540° y un hexágono, 720°.
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