Resolver ecuaciones irracionales paso a paso

Escribe la ecuación con √ o sqrt, como √(x + 3) = x − 3. Verás cómo se aísla la raíz, cómo se eleva al cuadrado y por qué hay que comprobar las soluciones: algunas son falsas.

En resumen

Para resolver una ecuación irracional se aísla la raíz en un miembro, se elevan al cuadrado los dos miembros y se resuelve la ecuación que queda. Después hay que comprobar cada solución en la ecuación de partida, porque al elevar al cuadrado pueden aparecer soluciones falsas.

√(x + 3) = x − 3 → x + 3 = x² − 6x + 9 → x² − 7x + 6 = 0 → x = 1 o x = 6. Comprobando, x = 6 vale (√9 = 3) y x = 1 no (√4 = 2, pero 1 − 3 = −2): la única solución es x = 6.

Cómo se resuelve una ecuación con una raíz

  1. Aísla la raíz: deja la raíz sola en un miembro y todo lo demás en el otro.
  2. Eleva al cuadrado los dos miembros. La raíz desaparece: (√A)² = A.
  3. Resuelve la ecuación que queda, normalmente de primer o segundo grado.
  4. Comprueba cada solución sustituyéndola en la ecuación de partida y descarta las que no cumplen.
√(x + 3) = x − 3 x + 3 = (x − 3)² = x² − 6x + 9 x² − 7x + 6 = 0 → x = 1, x = 6 x = 1: √4 = 2 ≠ −2 ✗ x = 6: √9 = 3 = 3 ✓

Por qué aparecen soluciones falsas

Elevar al cuadrado no es una operación reversible: 2 y −2 tienen el mismo cuadrado. Por eso la ecuación elevada al cuadrado tiene también las soluciones de √A = −R, que no son las nuestras (una raíz cuadrada nunca es negativa). Comprobar no es opcional: forma parte de la resolución.

Ecuaciones con dos raíces

Si hay dos raíces, se deja una sola en un miembro y se eleva al cuadrado. Al otro lado queda un binomio con la otra raíz, así que hay que aislarla y elevar al cuadrado otra vez.

√(2x + 1) + √(x − 3) = 4 √(2x + 1) = 4 − √(x − 3) 2x + 1 = 16 − 8√(x − 3) + x − 3 8√(x − 3) = 12 − x 64(x − 3) = (12 − x)² → x² − 88x + 336 = 0 → x = 4, x = 84 x = 4: √9 + √1 = 4 ✓ x = 84: √169 + √81 = 22 ✗

Consejo: antes de elevar, deja en cada miembro lo más sencillo posible. Elevar una suma con dos raíces de golpe complica mucho las cuentas.

Ejemplos resueltos

√(x + 3) = x − 3

x = 6 (x = 1 es una solución falsa).

Probar este ejemplo

√(2x + 1) + √(x − 3) = 4

x = 4 (x = 84 es falsa).

Probar este ejemplo

x − √x = 2

√x = x − 2 → x² − 5x + 4 = 0 → x = 4 (x = 1 es falsa).

Probar este ejemplo

√(x + 4) = √(2x − 1)

x + 4 = 2x − 1 → x = 5.

Probar este ejemplo

Errores frecuentes

  • Elevar sin aislar la raíz. (√x + 1)² no es x + 1: es x + 2√x + 1, y la raíz sigue ahí.
  • Olvidar el doble producto. (x − 3)² = x² − 6x + 9, no x² + 9. Repasa los productos notables.
  • No comprobar. Es la causa más habitual de dar soluciones falsas por buenas.
  • Dar por buena una raíz negativa. √9 es 3, nunca −3: el símbolo √ es la raíz positiva.

La ecuación que queda al elevar suele ser de segundo grado. Si la incógnita está en un denominador, la ecuación es racional, y si está dentro de un logaritmo, logarítmica.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se resuelve una ecuación irracional?

Se aísla la raíz, se elevan al cuadrado los dos miembros, se resuelve la ecuación que queda y se comprueban las soluciones. Por ejemplo, √(x + 3) = x − 3 da x + 3 = x² − 6x + 9, con soluciones x = 1 y x = 6; al comprobar, solo vale x = 6.

¿Por qué hay que comprobar las soluciones de una ecuación irracional?

Porque al elevar al cuadrado se añaden las soluciones de la ecuación con el signo cambiado: 2² = (−2)². Algunas de las soluciones que salen no cumplen la ecuación de partida y hay que descartarlas.

¿Qué hago si hay dos raíces?

Deja una raíz sola en un miembro y eleva al cuadrado. Quedará otra raíz: aíslala y vuelve a elevar al cuadrado. Al final, comprueba las soluciones en la ecuación de partida.

¿Una ecuación irracional puede no tener solución?

Sí. Por ejemplo, √x = −2 no tiene solución, porque una raíz cuadrada nunca es negativa. Al elevar sale x = 4, pero al comprobar √4 = 2 ≠ −2.

¿Cuál es el dominio de una ecuación irracional?

Los valores de x para los que lo que hay dentro de cada raíz cuadrada es mayor o igual que 0. En √(x − 3) = 5, tiene que ser x ≥ 3.

¿Cómo escribo la raíz en la calculadora?

Con el símbolo √ o con sqrt, y lo de dentro entre paréntesis: √(2x + 1) o sqrt(2x + 1). Para multiplicar, 2√x o 2*sqrt(x).

Revisado en septiembre de 2026.

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