Teorema de Pitágoras: calcular la hipotenusa o un cateto

Escribe dos lados del triángulo rectángulo y se calcula el tercero. De paso, verás el área, el perímetro y los ángulos.

En resumen

En un triángulo rectángulo se cumple el teorema de Pitágoras: c² = a² + b², donde c es la hipotenusa. Con catetos de 3 y 4, la hipotenusa es √(9 + 16) = 5. Si conoces la hipotenusa (13) y un cateto (5), el otro es √(169 − 25) = 12.

El teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo (con un ángulo de 90°), los lados que forman el ángulo recto son los catetos y el lado opuesto, el más largo, es la hipotenusa. Siempre se cumple:

c² = a² + b²
  • a y b: los catetos, los dos lados que forman el ángulo recto.
  • c: la hipotenusa, el lado opuesto al ángulo recto (siempre el más largo).

Calcular la hipotenusa

Con catetos 3 y 4:

c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

Calcular un cateto

Con hipotenusa 13 y un cateto de 5:

b = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12

Tríos como 3-4-5, 5-12-13 u 8-15-17 se llaman ternas pitagóricas: todos sus lados son enteros. Los albañiles usan el 3-4-5 para comprobar que una esquina está a escuadra.

Ejemplos resueltos

Hipotenusa con catetos de 3 y 4

c = √(3² + 4²) = √25 = 5.

Probar este ejemplo

Cateto con hipotenusa 13 y el otro cateto 5

b = √(13² − 5²) = √144 = 12.

Probar este ejemplo

Una escalera de 5 m apoyada a 1,5 m de la pared. ¿A qué altura llega?

La escalera es la hipotenusa: altura = √(5² − 1,5²) = √22,75 ≈ 4,77 m.

Probar este ejemplo

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Un poco de historia

El teorema lleva el nombre de Pitágoras de Samos (siglo VI a. C.), pero la relación se conocía mucho antes: la tablilla babilónica Plimpton 322 (hacia 1800 a. C.) recoge ternas de números que la cumplen, y también se usaba en la India y en China. No se conserva ninguna demostración de Pitágoras; la más antigua escrita que conocemos es la de Euclides en los Elementos (hacia 300 a. C., libro I, proposición 47).

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula la hipotenusa?

Eleva al cuadrado cada cateto, súmalos y haz la raíz cuadrada del resultado: c = √(a² + b²).

¿Cómo se calcula un cateto sabiendo la hipotenusa?

Resta al cuadrado de la hipotenusa el cuadrado del otro cateto y haz la raíz: a = √(c² − b²).

¿Sirve el teorema de Pitágoras para cualquier triángulo?

No, solo para triángulos rectángulos. Para los demás se usa el teorema del coseno, que es una generalización: c² = a² + b² − 2ab · cos(γ).

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