Calcular las asíntotas de una función

Escribe la función. Ejemplos: (x^2 + 1)/(x - 1), 1/(x^2 - 4), (2x + 3)/(x + 1), e^x/x, ln(x).

Los tres tipos

  • Vertical, x = a: la función se va a ±∞ al acercarse a a. Se buscan en los ceros del denominador.
  • Horizontal, y = L: el límite en +∞ o −∞ es un número L.
  • Oblicua, y = mx + n: la función se parece a una recta inclinada en el infinito.
Vertical: lím (x→a) f(x) = ±∞ Horizontal: lím (x→±∞) f(x) = L Oblicua: m = lím f(x)/x, n = lím [f(x) − mx]

En funciones racionales (cociente de polinomios)

  • Grado de arriba menor que el de abajo: horizontal y = 0.
  • Grados iguales: horizontal y = cociente de los coeficientes principales.
  • Arriba un grado más: oblicua, el cociente de la división.
f(x) = (x² + 1)/(x − 1) Vertical: x = 1 (el denominador se anula y el numerador no) Oblicua: (x² + 1) : (x − 1) = x + 1, resto 2 → y = x + 1

Una función no puede tener horizontal y oblicua por el mismo lado: si hay horizontal en +∞, no hay oblicua en +∞.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calculan las asíntotas verticales?

Se buscan los valores que anulan el denominador y se comprueba que el límite en ellos es infinito. En 1/(x − 2) hay asíntota vertical en x = 2.

¿Cómo se calcula la asíntota horizontal?

Con el límite en el infinito. Si es un número L, la asíntota es y = L. En (2x + 3)/(x + 1) el límite es 2, así que y = 2.

¿Cómo se calcula la asíntota oblicua?

Con m = lím f(x)/x y n = lím [f(x) − mx], o en una función racional dividiendo los polinomios: el cociente mx + n es la asíntota.

¿Qué pasa si el numerador también se anula?

Si numerador y denominador se anulan en el mismo punto y el límite es finito, no hay asíntota sino un hueco (discontinuidad evitable), como en (x² − 1)/(x − 1) en x = 1.

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