Calcular máximos y mínimos de una función

Escribe la función. Se deriva, se buscan los puntos donde f′(x) = 0 y se estudia el signo de la derivada. Ejemplos: x^3 - 6x^2 + 9x + 1, x·e^(-x), (x^2 + 1)/x.

Cómo se calculan

  1. Derivar la función.
  2. Resolver f′(x) = 0: son los puntos críticos, candidatos a máximo o mínimo.
  3. Estudiar el signo de f′ a cada lado: si pasa de + a −, es un máximo; de − a +, un mínimo.
  4. O con la segunda derivada: f″ < 0 en el punto crítico → máximo; f″ > 0 → mínimo.

Ejemplo

f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1 f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 0 → x = 1, x = 3 f″(x) = 6x − 12: f″(1) = −6 < 0 → máximo (1, 5) f″(3) = 6 > 0 → mínimo (3, 1) Crece en (−∞, 1) ∪ (3, +∞) y decrece en (1, 3) f″(x) = 0 en x = 2 → punto de inflexión (2, 3)

Máximo relativo y absoluto

Un máximo relativo es el punto más alto de su entorno; el absoluto es el más alto de toda la función (puede no existir si la función crece sin límite, como en el ejemplo).

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calculan los máximos y mínimos de una función?

Se deriva, se resuelve f′(x) = 0 y se mira el signo de f′ a cada lado (o el de f″ en el punto). En x³ − 3x: f′ = 3x² − 3 = 0 da x = ±1; hay un máximo en (−1, 2) y un mínimo en (1, −2).

¿Cómo se calculan los intervalos de crecimiento?

Donde f′(x) > 0 la función crece y donde f′(x) < 0 decrece. Se parte la recta en los puntos críticos y se prueba un valor en cada tramo.

¿Qué es un punto de inflexión?

Un punto donde la función cambia de curvatura (de ∪ a ∩ o al revés). Se busca donde f″(x) = 0 y cambia de signo.

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