Calcular máximos y mínimos de una función

Escribe la función. Se deriva, se buscan los puntos donde f′(x) = 0 y se estudia el signo de la derivada. Ejemplos: x^3 - 6x^2 + 9x + 1, x·e^(-x), (x^2 + 1)/x.

En resumen

Para hallar los máximos y mínimos de una función se deriva, se resuelve f′(x) = 0 y se mira el signo de f′ a cada lado (o el de f″). En f(x) = x³ − 3x, f′(x) = 3x² − 3 se anula en x = ±1: hay un máximo en (−1, 2) y un mínimo en (1, −2).

Cómo se calculan

  1. Derivar la función.
  2. Resolver f′(x) = 0: son los puntos críticos, candidatos a máximo o mínimo.
  3. Estudiar el signo de f′ a cada lado: si pasa de + a −, es un máximo; de − a +, un mínimo.
  4. O con la segunda derivada: f″ < 0 en el punto crítico → máximo; f″ > 0 → mínimo.

Ejemplo

f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1 f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 0 → x = 1, x = 3 f″(x) = 6x − 12: f″(1) = −6 < 0 → máximo (1, 5) f″(3) = 6 > 0 → mínimo (3, 1) Crece en (−∞, 1) ∪ (3, +∞) y decrece en (1, 3) f″(x) = 0 en x = 2 → punto de inflexión (2, 3)

Máximo relativo y absoluto

Un máximo relativo es el punto más alto de su entorno; el absoluto es el más alto de toda la función (puede no existir si la función crece sin límite, como en el ejemplo).

Un poco de historia

Pierre de Fermat descubrió hacia 1636 que en un máximo o un mínimo la tangente es horizontal, la idea de igualar la derivada a cero, antes de que existiera el cálculo. El primer artículo de Leibniz sobre cálculo (1684) se titulaba precisamente «Un nuevo método para los máximos y los mínimos».

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calculan los máximos y mínimos de una función?

Se deriva, se resuelve f′(x) = 0 y se mira el signo de f′ a cada lado (o el de f″ en el punto). En x³ − 3x: f′ = 3x² − 3 = 0 da x = ±1; hay un máximo en (−1, 2) y un mínimo en (1, −2).

¿Cómo se calculan los intervalos de crecimiento?

Donde f′(x) > 0 la función crece y donde f′(x) < 0 decrece. Se parte la recta en los puntos críticos y se prueba un valor en cada tramo.

¿Qué es un punto de inflexión?

Un punto donde la función cambia de curvatura (de ∪ a ∩ o al revés). Se busca donde f″(x) = 0 y cambia de signo.

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