Calcular derivadas paso a paso

Escribe la función con x como variable: x^3 - 2x, x·sen(x), e^(2x), ln(x^2 + 1), (x + 1)/(x - 1)… Verás qué regla se usa en cada parte y el resultado simplificado.

Qué es la derivada

La derivada f′(x) mide cómo cambia la función: es la pendiente de la recta tangente en cada punto. Si f′(x) > 0 la función crece; si f′(x) < 0, decrece; y donde f′(x) = 0 puede haber un máximo o un mínimo.

f′(x) = lím (h→0) [f(x + h) − f(x)] / h

Tabla de derivadas

(k)′ = 0 (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ (eˣ)′ = eˣ (aˣ)′ = aˣ·ln a (ln x)′ = 1/x (√x)′ = 1/(2√x) (sen x)′ = cos x (cos x)′ = −sen x (tan x)′ = 1/cos² x (arctan x)′ = 1/(1 + x²)

Reglas de derivación

Suma: (u ± v)′ = u′ ± v′ Producto: (u·v)′ = u′·v + u·v′ Cociente: (u/v)′ = (u′·v − u·v′) / v² Cadena: [f(u)]′ = f′(u)·u′

La regla de la cadena es la que más se olvida: al derivar sen(3x) no basta con cos(3x), hay que multiplicar por la derivada de lo de dentro, 3. Por eso (sen 3x)′ = 3·cos(3x).

Ejemplo

f(x) = x²·sen(3x) u = x² → u′ = 2x; v = sen(3x) → v′ = 3·cos(3x) f′(x) = 2x·sen(3x) + 3x²·cos(3x)

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula una derivada?

Se aplican la tabla de derivadas y las reglas de la suma, el producto, el cociente y la cadena. Por ejemplo, la derivada de x³ − 5x es 3x² − 5, y la de x²·sen(3x) es 2x·sen(3x) + 3x²·cos(3x).

¿Qué es la regla de la cadena?

Para derivar una función compuesta f(u(x)) se deriva la de fuera y se multiplica por la derivada de la de dentro: (e^(2x))′ = e^(2x) · 2.

¿Cómo se calcula la segunda derivada?

Derivando la primera derivada. Si f(x) = x³, f′(x) = 3x² y f″(x) = 6x. Sirve para saber si la función es cóncava o convexa.

¿Cómo se calcula la derivada en un punto?

Se calcula f′(x) y se sustituye el valor de x. Si f(x) = x², f′(x) = 2x y f′(3) = 6: es la pendiente de la tangente en x = 3.

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