Calcular límites paso a paso

Escribe la función y hacia dónde tiende x. Ejemplos: (x^2 - 4)/(x - 2) en x = 2, sen(x)/x en x = 0, (3x^2 + 1)/(x^2 - 5) en +∞.

En resumen

Para calcular un límite se sustituye x por el valor al que tiende; si sale una indeterminación como 0/0, se simplifica antes (factorizando, racionalizando…). Por ejemplo, lím (x² − 4) / (x − 2) cuando x → 2 da 0/0, pero (x + 2)(x − 2) / (x − 2) = x + 2, así que el límite es 4.

Qué es un límite

El límite de f(x) cuando x tiende a c es el valor al que se acerca f(x) cuando x se acerca a c, aunque en c la función no exista. Si por la izquierda y por la derecha se acerca a valores distintos, el límite no existe.

Cómo se calcula

  1. Sustituir. Si sale un número, ese es el límite.
  2. Si sale k/0 (k ≠ 0), el límite es infinito: se miran los signos a cada lado.
  3. Si sale 0/0, es una indeterminación: se factoriza y se simplifica, o se aplica L'Hôpital (derivar arriba y abajo).
  4. En el infinito, con cocientes de polinomios se comparan los grados.
lím (x→2) (x² − 4)/(x − 2) = lím (x→2) (x + 2)(x − 2)/(x − 2) = lím (x→2) (x + 2) = 4
lím (x→0) sen(x)/x = lím (x→0) cos(x)/1 = 1 (L'Hôpital)
lím (x→∞) (3x² + 1)/(x² − 5) = 3/1 = 3 (mismo grado)

Un poco de historia

Arquímedes ya usaba un método parecido a los límites para calcular áreas, pero el concepto riguroso llegó en el siglo XIX, con Augustin-Louis Cauchy (1821) y la definición de Karl Weierstrass que se estudia hoy. La regla de L'Hôpital la descubrió Johann Bernoulli, que se la enseñó a cambio de un sueldo al marqués de L'Hôpital, y este la publicó en 1696 en el primer libro de cálculo de la historia.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula un límite?

Primero se sustituye. Si sale un número, es el límite. Si sale 0/0 se factoriza y simplifica o se aplica L'Hôpital: lím (x→2) (x² − 4)/(x − 2) = lím (x + 2) = 4.

¿Qué es la regla de L'Hôpital?

Si un cociente da 0/0 o ∞/∞, su límite es el del cociente de las derivadas del numerador y del denominador. Así, sen(x)/x en 0 pasa a cos(x)/1, que vale 1.

¿Cuándo no existe un límite?

Cuando los límites laterales son distintos (1/x en 0: −∞ por la izquierda y +∞ por la derecha) o cuando la función oscila sin acercarse a nada, como sen(1/x) en 0.

¿Cómo se calculan los límites en el infinito?

En un cociente de polinomios se comparan los grados: si el de abajo es mayor, el límite es 0; si son iguales, el cociente de los coeficientes principales; si el de arriba es mayor, infinito.

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