Calcular el término general de una sucesión (y los siguientes términos)

Escribe al menos tres términos de la sucesión (cuatro si puede ser cuadrática). Se detecta el tipo, se calcula el término general y se continúa la serie.

En resumen

Para hallar el término general se mira cómo cambia la sucesión: si la diferencia es constante, es aritmética, aₙ = a₁ + (n − 1) · d; si el cociente es constante, geométrica, aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹. Así, 5, 8, 11, 14… tiene aₙ = 3n + 2, y 3, 6, 12, 24…, aₙ = 3 · 2ⁿ⁻¹.

Cómo encontrar el término general de una sucesión

  1. Resta cada término del anterior. Si la diferencia es constante (d), es aritmética: aₙ = a₁ + (n − 1)d.
  2. Si no, divide cada término entre el anterior. Si el cociente es constante (r), es geométrica: aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹.
  3. Si no, mira las diferencias de las diferencias. Si son constantes, es cuadrática: aₙ = An² + Bn + C, con 2A igual a esa segunda diferencia.

Ejemplos

3, 7, 11, 15… d = 4 aₙ = 4n − 1 2, 6, 18, 54… r = 3 aₙ = 2 · 3ⁿ⁻¹ 2, 6, 12, 20… 2.ª dif. = 2 aₙ = n² + n

Una vez tienes aₙ, cualquier término sale sustituyendo n: el término 10.º de 2, 6, 12, 20… es 10² + 10 = 110.

Un poco de historia

Fibonacci planteó en 1202 el problema de los conejos que da la sucesión 1, 1, 2, 3, 5, 8…, en la que cada término es la suma de los dos anteriores. Su término general, con el número áureo, lo publicó Jacques Binet en 1843, aunque Abraham de Moivre ya lo conocía hacia 1730.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula el término general de una sucesión aritmética?

Con aₙ = a₁ + (n − 1) · d, donde d es la diferencia entre dos términos seguidos. Para 5, 8, 11, 14…: aₙ = 5 + (n − 1) · 3 = 3n + 2.

¿Qué es una sucesión cuadrática?

Aquella cuyas segundas diferencias son constantes. Su término general es un polinomio de segundo grado en n, como aₙ = n² + 1 (2, 5, 10, 17…).

¿Cómo sé si una sucesión es geométrica?

Si al dividir cada término entre el anterior sale siempre el mismo número (la razón r). En 3, 6, 12, 24…, r = 2.

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