Calcular el término general de una sucesión (y los siguientes términos)

Escribe al menos tres términos de la sucesión (cuatro si puede ser cuadrática). Se detecta el tipo, se calcula el término general y se continúa la serie.

Término generalaₙ = n² + nsucesión cuadrática
Siguientes términos42, 56, 72
Término a10110

Paso a paso

  1. Las primeras diferencias no son constantes, pero las segundas sí: es una sucesión cuadrática, aₙ = An² + Bn + C.

    1.ª diferencias: 4, 6, 8, 10 2.ª diferencias: 2, 2, 2

  2. La segunda diferencia es 2A. Con los primeros términos se sacan B y C:

    2A = 2 → A = 1 a₂ − a₁ = 3A + B → B = 4 − 3 · 1 = 1 a₁ = A + B + C → C = 0

  3. Sustituimos n = 10:

    a10 = 110

Cómo encontrar el término general de una sucesión

  1. Resta cada término del anterior. Si la diferencia es constante (d), es aritmética: aₙ = a₁ + (n − 1)d.
  2. Si no, divide cada término entre el anterior. Si el cociente es constante (r), es geométrica: aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹.
  3. Si no, mira las diferencias de las diferencias. Si son constantes, es cuadrática: aₙ = An² + Bn + C, con 2A igual a esa segunda diferencia.

Ejemplos

3, 7, 11, 15… d = 4 aₙ = 4n − 1 2, 6, 18, 54… r = 3 aₙ = 2 · 3ⁿ⁻¹ 2, 6, 12, 20… 2.ª dif. = 2 aₙ = n² + n

Una vez tienes aₙ, cualquier término sale sustituyendo n: el término 10.º de 2, 6, 12, 20… es 10² + 10 = 110.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula el término general de una sucesión aritmética?

Con aₙ = a₁ + (n − 1) · d, donde d es la diferencia entre dos términos seguidos. Para 5, 8, 11, 14…: aₙ = 5 + (n − 1) · 3 = 3n + 2.

¿Qué es una sucesión cuadrática?

Aquella cuyas segundas diferencias son constantes. Su término general es un polinomio de segundo grado en n, como aₙ = n² + 1 (2, 5, 10, 17…).

¿Cómo sé si una sucesión es geométrica?

Si al dividir cada término entre el anterior sale siempre el mismo número (la razón r). En 3, 6, 12, 24…, r = 2.

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