Calcular logaritmos en cualquier base

Escribe la base y el número. Para el logaritmo neperiano (ln) escribe e como base. Si el resultado es exacto, verás por qué.

En resumen

El logaritmo en base b de x es el exponente al que hay que elevar b para obtener x: logb x = y ⇔ bʸ = x. Por ejemplo, log₂ 8 = 3 porque 2³ = 8. Para cualquier base se usa el cambio de base: log₃ 20 = ln 20 / ln 3 ≈ 2,727.

Qué es un logaritmo

El logaritmo es la operación inversa de la potencia: pregunta «¿a qué exponente hay que elevar la base?».

log₂ 8 = 3 porque 2³ = 8
  • log_b x: el exponente al que hay que elevar la base b para obtener x.
  • b: la base, positiva y distinta de 1.
  • x: el número, que tiene que ser positivo.
  • log sin base es el logaritmo decimal (base 10): log 1000 = 3.
  • ln es el logaritmo neperiano o natural (base e ≈ 2,71828).

Propiedades de los logaritmos

log(a · b) = log a + log b log(a / b) = log a − log b log(aⁿ) = n · log a log_b b = 1 log_b 1 = 0

Cambio de base

Las calculadoras solo traen log y ln. Para cualquier otra base se divide:

log_b x = ln x / ln b = log x / log b

Por ejemplo, log₃ 20 = ln 20 / ln 3 ≈ 2,9957 / 1,0986 ≈ 2,7268.

Ejemplos resueltos

log₂ 8

3, porque 2³ = 8.

Probar este ejemplo

log 1000 (base 10)

3, porque 10³ = 1000.

Probar este ejemplo

ln 20

≈ 2,9957, porque e^2,9957 ≈ 20.

Probar este ejemplo

log₃ 20

ln 20 / ln 3 ≈ 2,7268.

Probar este ejemplo

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Un poco de historia

John Napier publicó los logaritmos en 1614 para simplificar los cálculos astronómicos: convierten las multiplicaciones en sumas. Henry Briggs creó poco después los logaritmos en base 10, y durante más de tres siglos, hasta las calculadoras electrónicas, ingenieros y científicos calcularon con tablas de logaritmos y reglas de cálculo.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula un logaritmo en otra base?

Con el cambio de base: log_b(x) = log(x) / log(b). Por ejemplo, log₂(8) = log 8 / log 2 = 3.

¿Por qué no existe el logaritmo de 0 ni de un número negativo?

Porque ninguna potencia de una base positiva da 0 o un número negativo: 2 elevado a cualquier cosa siempre es positivo. Por eso el logaritmo solo está definido para números mayores que 0.

¿Qué diferencia hay entre log y ln?

log es el logaritmo en base 10 y ln en base e (≈ 2,71828). Se relacionan así: ln x ≈ 2,3026 · log x.

¿Cuánto vale el logaritmo de 1?

0 en cualquier base, porque cualquier número elevado a 0 es 1.

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