Calcular probabilidades con la distribución uniforme

Escribe el mínimo a y el máximo b y elige qué probabilidad quieres. Es la distribución de lo que puede caer en cualquier punto de un intervalo con la misma probabilidad, como la espera de un autobús que pasa cada 15 minutos.

En resumen

En la distribución uniforme continua U(a, b), todos los valores entre a y b son igual de probables, y la probabilidad de un intervalo es su longitud entre la longitud total: P(c ≤ X ≤ d) = (d − c) / (b − a).

Si un autobús pasa cada 15 minutos y llegas a la parada sin mirar el horario, la probabilidad de esperar entre 5 y 12 minutos es (12 − 5) / 15 = 7/15 ≈ 0,4667, y la espera media es de 7,5 minutos.

Fórmulas de la distribución uniforme continua

f(x) = 1 / (b − a) si a ≤ x ≤ b F(x) = P(X ≤ x) = (x − a) / (b − a) μ = (a + b) / 2 σ² = (b − a)² / 12

La gráfica de la densidad es un rectángulo de base b − a y altura 1 / (b − a), de área 1: por eso también se llama distribución rectangular. En una variable continua, la probabilidad de un valor exacto es 0, así que da igual escribir < o ≤.

Distribución uniforme discreta

P(X = k) = 1 / n n = b − a + 1 μ = (a + b) / 2 σ² = (n² − 1) / 12

Es la de un dado, una ruleta o un sorteo: n valores enteros, todos con la misma probabilidad. Aquí sí importa si el extremo entra o no: en un dado, P(X ≤ 3) = 3/6 y P(X < 3) = 2/6. Para elegir números al azar, usa el generador de números aleatorios.

SituaciónDistribuciónMedia
Espera a un autobús que pasa cada 15 minU(0, 15) continua7,5 min
Número aleatorio de la calculadora (RAN#)U(0, 1) continua0,5
Error al redondear a la unidadU(−0,5; 0,5) continua0
Lanzar un dadoUniforme discreta de 1 a 63,5
Día del mes de un cumpleaños al azar (de 30 días)Uniforme discreta de 1 a 3015,5

Ejemplos resueltos

Un autobús pasa cada 15 minutos. ¿Probabilidad de esperar entre 5 y 12 minutos?

(12 − 5) / 15 = 0,4667. La espera media es 7,5 min.

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Con el mismo autobús, ¿probabilidad de esperar 10 minutos o más?

(15 − 10) / 15 = 0,3333.

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Un número al azar entre 0 y 1: ¿probabilidad de que sea menor que 0,3? ¿Varianza?

P = 0,3; σ² = 1/12 ≈ 0,0833.

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Al lanzar un dado, ¿probabilidad de sacar entre 2 y 4? ¿Media y varianza?

3/6 = 0,5; μ = 3,5 y σ² = 35/12 ≈ 2,9167.

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Errores frecuentes

  • Dividir entre b en vez de entre b − a. Solo coincide cuando a = 0.
  • Usar (b − a)² / 12 en la discreta. En un dado no sale 25/12, sino (6² − 1) / 12 = 35/12.
  • Olvidar que fuera de [a, b] la probabilidad es 0: en U(0, 15), P(X ≤ 20) = 1.

Si los tiempos de espera no tienen un máximo fijo (llamadas, averías), el modelo suele ser la distribución exponencial; para la media y la varianza de cualquier variable discreta, usa la calculadora de esperanza matemática.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula una probabilidad en la distribución uniforme?

Dividiendo la longitud del intervalo entre la longitud total: P(c ≤ X ≤ d) = (d − c) / (b − a). Con un autobús cada 15 minutos, la probabilidad de esperar entre 5 y 12 minutos es 7 / 15 ≈ 0,4667.

¿Cuál es la media de la distribución uniforme?

El punto medio del intervalo: (a + b) / 2. En U(0, 15) es 7,5, y en un dado, (1 + 6) / 2 = 3,5.

¿Cuál es la varianza de la distribución uniforme?

En la continua, (b − a)² / 12: para U(0, 1) es 1/12 ≈ 0,0833. En la discreta con n valores, (n² − 1) / 12: para un dado, 35/12 ≈ 2,92.

¿Cuál es la función de densidad de la uniforme?

f(x) = 1 / (b − a) entre a y b, y 0 fuera. Es constante: un rectángulo de área 1.

¿Qué diferencia hay entre la uniforme continua y la discreta?

La continua admite cualquier valor del intervalo (un tiempo, una longitud); la discreta, solo un número finito de valores igual de probables (las caras de un dado). En la continua la probabilidad de un valor exacto es 0.

Revisado en septiembre de 2026.

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