Calcular probabilidades con la distribución exponencial

Escribe el tiempo medio (o la tasa λ) y elige qué quieres calcular. Sirve para tiempos de espera sin memoria: entre llamadas, entre clientes, hasta que falla una pieza…

En resumen

En la distribución exponencial de tasa λ (media μ = 1/λ), la probabilidad de que el suceso ocurra antes de x es P(X ≤ x) = 1 − e^(−λx), y la de que tarde más, P(X > x) = e^(−λx).

Si en una centralita entra una llamada cada 4 minutos de media (λ = 0,25 por minuto), la probabilidad de que la siguiente llegue en menos de 5 minutos es 1 − e^(−0,25 · 5) = 1 − e^(−1,25) ≈ 0,7135.

Fórmulas de la distribución exponencial

f(x) = λ · e^(−λx) x ≥ 0 F(x) = P(X ≤ x) = 1 − e^(−λx) P(X > x) = e^(−λx) μ = σ = 1/λ mediana = ln 2 / λ

Mide el tiempo que pasa hasta que ocurre algo que sucede al azar a un ritmo constante λ. Si el número de sucesos en un intervalo sigue una distribución de Poisson de media λ·t, el tiempo entre dos sucesos sigue una exponencial de tasa λ: son dos caras del mismo proceso.

La falta de memoria

P(X > s + t | X > s) = P(X > t)

Lo que ya has esperado no cuenta: si llevas 10 minutos sin que llegue una llamada, la probabilidad de esperar 5 más es la misma que al principio. Es la única distribución continua con esta propiedad, y por eso modela bien averías al azar, pero no el desgaste (una pieza vieja sí falla antes que una nueva). Es la misma ley que la desintegración radiactiva: la semivida es la mediana, ln 2 / λ.

x (en múltiplos de la media)P(X ≤ x)P(X > x)
0,5 · μ0,39350,6065
ln 2 · μ ≈ 0,693 · μ (mediana)0,50,5
1 · μ0,63210,3679
2 · μ0,86470,1353
3 · μ0,95020,0498

Llamativo: la probabilidad de que tarde menos que la media es el 63,2 %, no el 50 %.

Ejemplos resueltos

Entra una llamada cada 4 minutos de media. ¿Probabilidad de que la siguiente llegue antes de 5 minutos?

1 − e^(−5/4) ≈ 0,7135.

Probar este ejemplo

Una bombilla dura de media 1000 horas. ¿Probabilidad de que dure más de 1500?

e^(−1500/1000) = e^(−1,5) ≈ 0,2231.

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Llegan 0,5 clientes por minuto. ¿Probabilidad de que el próximo tarde entre 1 y 3 minutos?

e^(−0,5) − e^(−1,5) = 0,6065 − 0,2231 ≈ 0,3834.

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Con una media de 4 minutos entre llamadas, ¿cuál es la mediana?

4 · ln 2 ≈ 2,7726 minutos: la mitad de las esperas son más cortas.

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Errores frecuentes

  • Confundir λ con la media. Si la media es 4 minutos, λ = 0,25 por minuto, no 4.
  • Mezclar unidades: λ y x tienen que estar en la misma unidad de tiempo (por minuto y minutos).
  • Pensar que la mediana es la media. En la exponencial, la mediana es un 30,7 % menor.

La exponencial en Excel

Qué quieresFunción de Excel
P(X ≤ x)=DISTR.EXP.N(x; λ; VERDADERO)
Densidad f(x)=DISTR.EXP.N(x; λ; FALSO)
P(X > x)=1 − DISTR.EXP.N(x; λ; VERDADERO) o =EXP(−λ*x)
Percentil p=−LN(1 − p)/λ

Para otros tiempos de espera con un máximo fijo, mira la distribución uniforme; para la media de una variable cualquiera, la esperanza matemática.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula una probabilidad con la distribución exponencial?

Con P(X ≤ x) = 1 − e^(−λx), siendo λ = 1 / media. Si la media entre llamadas es 4 minutos (λ = 0,25), la probabilidad de que la siguiente llegue antes de 5 minutos es 1 − e^(−1,25) ≈ 0,7135.

¿Cuál es la media de la distribución exponencial?

1/λ, y su desviación típica también es 1/λ. Si llegan 0,5 clientes por minuto, el tiempo medio entre clientes es 2 minutos.

¿Qué es la falta de memoria de la exponencial?

Que la probabilidad de esperar un tiempo más no depende de lo que ya has esperado: P(X > s + t | X > s) = P(X > t). Es la única distribución continua que la cumple.

¿Qué relación hay entre la distribución exponencial y la de Poisson?

Si los sucesos ocurren al azar a un ritmo λ, el número de sucesos en un tiempo t sigue una Poisson de media λ·t y el tiempo entre sucesos sigue una exponencial de tasa λ.

¿Cuál es la mediana de la exponencial?

ln 2 / λ ≈ 0,693 · la media. Con una media de 4 minutos, la mediana es 2,77 minutos: la mitad de las esperas duran menos que eso.

Revisado en septiembre de 2026.

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