Calcular la ecuación de un plano y distancias en el espacio

Elige el cálculo y escribe los puntos entre paréntesis, como (1, 2, 3). Verás los vectores, el producto vectorial y la fórmula de cada distancia.

En resumen

Para la ecuación del plano que pasa por tres puntos A, B y C: se calcula el vector normal n = AB × AC y el plano es n · (X − A) = 0. Con A(1, 0, 0), B(0, 2, 0) y C(0, 0, 3) sale 6x + 3y + 2z − 6 = 0.

La distancia de un punto a un plano ax + by + cz + d = 0 es |ax₀ + by₀ + cz₀ + d| / √(a² + b² + c²); la de un punto a una recta, |QP × v| / |v|.

Ecuación del plano por tres puntos

  1. Calcula dos vectores del plano: AB = B − A y AC = C − A.
  2. Su producto vectorial n = AB × AC es perpendicular al plano (vector normal).
  3. La ecuación general es ax + by + cz + d = 0, con (a, b, c) = n. Para hallar d, sustituye las coordenadas de A.
A(1, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 3) AB = (−1, 2, 0), AC = (−1, 0, 3) n = AB × AC = (6, 3, 2) 6 · 1 + 3 · 0 + 2 · 0 + d = 0 → d = −6 6x + 3y + 2z − 6 = 0

Si los tres puntos están alineados, el producto vectorial sale (0, 0, 0): hay infinitos planos que los contienen.

Distancia de un punto a un plano

d(P, π) = |a·x₀ + b·y₀ + c·z₀ + d| / √(a² + b² + c²)

Del punto P(1, 2, 3) al plano 2x − y + 2z + 3 = 0: |2 − 2 + 6 + 3| / √(4 + 1 + 4) = 9 / 3 = 3. Si el resultado es 0, el punto está en el plano.

Distancia de un punto a una recta

Si la recta pasa por Q con vector director v, se forma el paralelogramo de lados QP y v. Su área es |QP × v| y su base, |v|, así que la altura (la distancia) es:

d(P, r) = |QP × v| / |v|

Ejemplos resueltos

Plano por A(1, 0, 0), B(0, 2, 0) y C(0, 0, 3)

6x + 3y + 2z − 6 = 0.

Probar este ejemplo

Plano por (1, 1, 1), (2, 3, 1) y (0, 1, 4)

6x − 3y + 2z − 5 = 0.

Probar este ejemplo

Distancia de P(1, 2, 3) al plano 2x − y + 2z + 3 = 0

9 / 3 = 3.

Probar este ejemplo

Distancia de P(1, 1, 1) al eje X

Recta Q(0, 0, 0), v(1, 0, 0): d = √2 ≈ 1,4142.

Probar este ejemplo

Errores frecuentes

  • Equivocarse con el signo del segundo componente del producto vectorial. Es a₃b₁ − a₁b₃, no a₁b₃ − a₃b₁.
  • Olvidar el valor absoluto en la distancia al plano: una distancia nunca es negativa.
  • Usar el vector normal como director de la recta (o al revés): el normal es perpendicular al plano.

Para la distancia entre dos puntos, usa la calculadora de distancia entre dos puntos, y para las rectas en el plano, la de posición relativa de dos rectas.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula la ecuación de un plano que pasa por tres puntos?

Se calculan los vectores AB y AC, su producto vectorial da el vector normal (a, b, c), y la ecuación es ax + by + cz + d = 0, con d obtenido al sustituir uno de los puntos. Por A(1, 0, 0), B(0, 2, 0) y C(0, 0, 3) pasa 6x + 3y + 2z − 6 = 0.

¿Cómo se calcula la distancia de un punto a un plano?

Con d = |ax₀ + by₀ + cz₀ + d| / √(a² + b² + c²): se sustituye el punto en la ecuación del plano, se toma el valor absoluto y se divide entre el módulo del vector normal.

¿Cómo se calcula la distancia de un punto a una recta en el espacio?

Con d = |QP × v| / |v|, siendo Q un punto de la recta, v su vector director y P el punto. Es la altura del paralelogramo formado por QP y v.

¿Qué es el vector normal de un plano?

Un vector perpendicular al plano. En la ecuación ax + by + cz + d = 0, el vector normal es (a, b, c).

¿Qué pasa si los tres puntos están alineados?

No determinan un plano: hay infinitos planos que contienen esa recta. Se nota porque el producto vectorial AB × AC sale (0, 0, 0).

Revisado en septiembre de 2026.

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