Resolver triángulos: teorema del seno y del coseno

Escribe tres datos del triángulo, con al menos un lado: el ángulo A está enfrente del lado a, el B del b y el C del c. Se calcula todo lo demás, paso a paso.

En resumen

Para resolver un triángulo cualquiera se usan el teorema del seno, a / sen A = b / sen B = c / sen C, y el del coseno, c² = a² + b² − 2ab · cos C. Con lados 7 y 8 y un ángulo de 60° entre ellos: c² = 49 + 64 − 2 · 7 · 8 · 0,5 = 57, así que c ≈ 7,55.

Teorema del seno

En cualquier triángulo, cada lado dividido entre el seno de su ángulo opuesto da el mismo número:

a / sen A = b / sen B = c / sen C
  • a, b y c: los tres lados.
  • A, B y C: los ángulos opuestos a cada lado (A está enfrente de a).
  • s: semiperímetro, (a + b + c) / 2, en la fórmula de Herón.

Se usa cuando conoces dos ángulos y un lado, o dos lados y un ángulo que no está entre ellos.

Teorema del coseno

Es una generalización del teorema de Pitágoras para triángulos que no son rectángulos:

c² = a² + b² − 2ab · cos C

Se usa cuando conoces los tres lados, o dos lados y el ángulo que forman.

El caso ambiguo

Con dos lados y un ángulo que no está entre ellos, puede haber dos triángulos distintos, uno o ninguno: el seno de un ángulo y el de su suplementario (180° menos él) son iguales. La calculadora te enseña todas las soluciones posibles.

Área con la fórmula de Herón

Si conoces los tres lados, también puedes calcular el área sin ángulos. Con s = (a + b + c) / 2:

Área = √(s · (s − a) · (s − b) · (s − c))

Ejemplos resueltos

Triángulo de lados 5, 6 y 7

Con el teorema del coseno: A ≈ 44,42°, B ≈ 57,12° y C ≈ 78,46°. Área (Herón) = √(9 · 4 · 3 · 2) ≈ 14,70.

Probar este ejemplo

Lado a = 10 con A = 40° y B = 60°

C = 180° − 40° − 60° = 80°. Por el teorema del seno: b = 10 · sen 60° / sen 40° ≈ 13,47 y c ≈ 15,32.

Probar este ejemplo

Lados a = 8 y b = 5 que forman C = 60°

c² = 8² + 5² − 2 · 8 · 5 · cos 60° = 49, así que c = 7.

Probar este ejemplo

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Un poco de historia

El teorema del coseno aparece ya, en forma geométrica, en los Elementos de Euclides (libro II, proposiciones 12 y 13). El teorema del seno para triángulos planos lo expuso el matemático persa Nasir al-Din al-Tusi en el siglo XIII. La trigonometría nació al servicio de la astronomía: resolver triángulos permitía calcular las posiciones de los astros.

Preguntas frecuentes

¿Qué datos necesito para resolver un triángulo?

Tres, y al menos uno tiene que ser un lado: tres lados; dos lados y un ángulo; o dos ángulos y un lado. Con solo los tres ángulos hay infinitos triángulos de distinto tamaño.

¿Cuándo uso el teorema del seno y cuándo el del coseno?

El del coseno, cuando conoces los tres lados o dos lados y el ángulo entre ellos. El del seno, cuando conoces un lado y su ángulo opuesto (y algún dato más).

¿Cómo sé qué ángulo va con qué lado?

Cada ángulo se nombra con la mayúscula del lado que tiene enfrente: el ángulo A es el opuesto al lado a, y así con B y C.

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