Teorema de Tales: calcular un segmento proporcional
Escribe tres de los cuatro segmentos: a y b sobre una recta, c y d sobre la otra, entre las mismas paralelas. Se calcula el cuarto.
En resumen
El teorema de Tales dice que si varias paralelas cortan dos rectas, los segmentos son proporcionales: a / b = c / d. Si en una recta los segmentos miden 3 y 5 y en la otra el primero mide 6, el segundo es x = 5 · 6 / 3 = 10.
El teorema de Tales
Si dos rectas se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos que quedan en una son proporcionales a los que quedan en la otra.
- a y b: segmentos que las paralelas cortan en una recta.
- c y d: los segmentos correspondientes en la otra recta.
Triángulos en posición de Tales y semejanza
Si trazas una paralela a un lado de un triángulo, se forma un triángulo más pequeño semejante al grande: mismos ángulos y lados proporcionales. Si la razón de semejanza entre los lados es k, la de las áreas es k² y la de los volúmenes (en cuerpos), k³.
Ejemplos resueltos
Un palo de 2 m da una sombra de 1,5 m; un edificio, una de 12 m. ¿Cuánto mide el edificio?
2 / 1,5 = altura / 12, así que la altura = 2 · 12 / 1,5 = 16 m.
Probar este ejemploLa altura de un edificio por su sombra
Así midió Tales la pirámide de Keops. Un palo de 1 m da una sombra de 0,8 m a la vez que un edificio da una sombra de 12 m: altura = 1 · 12 / 0,8 = 15 m. Los rayos de sol son paralelos, así que los triángulos son semejantes.
Un poco de historia
Se atribuye a Tales de Mileto (hacia 624–546 a. C.), el primer matemático griego conocido por su nombre. Según una tradición que recogen autores muy posteriores, como Plutarco y Diógenes Laercio, midió la altura de la gran pirámide de Egipto comparando su sombra con la de un bastón: justo la semejanza de triángulos que describe el teorema.
Preguntas frecuentes
¿Qué relación hay entre rectas paralelas y segmentos proporcionales?
Es lo que dice el teorema de Tales: si varias rectas paralelas cortan a dos rectas, los segmentos que determinan en una son proporcionales a los que determinan en la otra (a / b = c / d). Si en una salen 3 y 6 cm y en la otra 4 cm y x, entonces x = 6 · 4 / 3 = 8 cm.
¿Qué dice el teorema de Tales?
Que si dos rectas secantes se cortan por rectas paralelas, los segmentos determinados en una son proporcionales a los correspondientes de la otra: a/b = c/d.
¿Cómo se calcula la altura de un árbol con su sombra?
Mide la sombra del árbol y la de un objeto de altura conocida a la misma hora. Altura del árbol = altura del objeto · sombra del árbol / sombra del objeto.
¿Cuándo son semejantes dos triángulos?
Cuando tienen los tres ángulos iguales, o los tres lados proporcionales, o dos lados proporcionales y el ángulo comprendido igual.
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