Resolver ecuaciones racionales paso a paso

Escribe la ecuación con los numeradores y denominadores entre paréntesis, como x/(x − 1) + 2/x = 3. Verás el mcm, cómo se quitan los denominadores y qué soluciones hay que descartar.

Ecuación

Solucionesx = 1/2, x = 2

Valores prohibidosx ≠ 0, x ≠ 1

Paso a paso

Primero, los valores que no puede tomar x: los que anulan algún denominador (ahí la ecuación no existe).
x ≠ 0, x ≠ 1
Se escribe cada miembro como una sola fracción, con el denominador factorizado:
(x² + 2x − 2)/(x(x − 1)) = 3
El mínimo común múltiplo de los denominadores (factores comunes y no comunes con el mayor exponente):
mcm = x(x − 1)
Se multiplican los dos miembros por el mcm. Cada numerador queda multiplicado por lo que le falta a su denominador para llegar al mcm, y los denominadores desaparecen:
x² + 2x − 2 = 3x(x − 1) x² + 2x − 2 = 3x² − 3x
Se pasa todo a un miembro:
−2x² + 5x − 2 = 0
Se cambia el signo de todos los términos (multiplicando por −1):
2x² − 5x + 2 = 0
Es una ecuación de segundo grado: se aplica la fórmula x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a, empezando por el discriminante.
a = 2, b = −5, c = 2 Δ = (−5)² − 4 · 2 · 2 = 9
El discriminante es positivo: hay dos soluciones.
x = (5 ± √9) / 4 = (5 ± 3) / 4 x₁ = 1/2 x₂ = 2
Se comprueban las soluciones: se descartan las que anulan algún denominador de la ecuación de partida.
x = 1/2: izquierda = 3, derecha = 3 ✓ vale x = 2: izquierda = 3, derecha = 3 ✓ vale

En resumen

Para resolver una ecuación racional (con x en el denominador): anota los valores que anulan los denominadores, multiplica los dos miembros por el mcm de los denominadores para quitarlos, resuelve la ecuación que queda y descarta las soluciones prohibidas.

x/(x − 1) + 2/x = 3: mcm = x(x − 1) → x² + 2(x − 1) = 3x(x − 1) → 2x² − 5x + 2 = 0 → x = 2 y x = 1/2, que no anulan ningún denominador.

Pasos para resolver una ecuación racional

Valores prohibidos: iguala cada denominador a 0. Esos valores no pueden ser solución.
Factoriza los denominadores y calcula su mcm: factores comunes y no comunes con el mayor exponente.
Multiplica los dos miembros por el mcm. Cada numerador queda multiplicado por lo que le falta a su denominador, y los denominadores desaparecen.
Resuelve la ecuación polinómica que queda (de primer o segundo grado casi siempre).
Descarta las soluciones que coinciden con algún valor prohibido.

x/(x − 1) + 2/x = 3 x ≠ 0, x ≠ 1 mcm = x(x − 1) x · x + 2(x − 1) = 3x(x − 1) x² + 2x − 2 = 3x² − 3x 2x² − 5x + 2 = 0 → x = 2, x = 1/2

Por qué hay que comprobar

Al multiplicar por el mcm, la ecuación nueva ya no tiene denominadores, así que admite valores que en la de partida estaban prohibidos. Si alguno sale como solución, no vale: en la ecuación original habría que dividir entre 0.

1/(x − 1) + 1/(x + 1) = 2/(x² − 1) (x + 1) + (x − 1) = 2 → 2x = 2 → x = 1 Pero x = 1 anula x − 1: no tiene solución.

Ejemplos resueltos

x/(x − 1) + 2/x = 3

x = 2 y x = 1/2.

Probar este ejemplo

2/(x + 1) = 1/(x − 2)

2(x − 2) = x + 1 → x = 5.

Probar este ejemplo

1/(x − 1) + 1/(x + 1) = 2/(x² − 1)

Sale x = 1, que anula un denominador: no tiene solución.

Probar este ejemplo

(x² − 9)/(x − 3) = 6

x² − 6x + 9 = 0 → x = 3, que está prohibido: no tiene solución.

Probar este ejemplo

Errores frecuentes

Multiplicar solo un miembro. El mcm multiplica a todos los términos de los dos miembros, también a los que no tienen denominador.
Olvidar los paréntesis. En −(x − 3) el signo afecta a todo el numerador: −x + 3.
Simplificar y perder los valores prohibidos. (x² − 9)/(x − 3) = x + 3 solo si x ≠ 3.
Multiplicar por el producto de los denominadores sin factorizar. Funciona, pero sube el grado y aparecen soluciones que hay que descartar.

Para simplificar y operar fracciones con x sin igualdad usa la calculadora de fracciones algebraicas; para factorizar los denominadores, la de factorizar polinomios. La ecuación que queda suele ser de segundo grado.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se resuelve una ecuación racional?

Se calculan los valores que anulan los denominadores, se multiplican los dos miembros por el mcm de los denominadores, se resuelve la ecuación que queda y se descartan las soluciones prohibidas. Por ejemplo, x/(x − 1) + 2/x = 3 da 2x² − 5x + 2 = 0, con soluciones x = 2 y x = 1/2.

¿Qué es una ecuación racional?

Una ecuación con la incógnita en algún denominador, como 3/x = x − 2 o (x + 1)/(x − 2) = 4. También se llaman ecuaciones con fracciones algebraicas.

¿Por qué hay que comprobar las soluciones?

Porque al quitar los denominadores pueden aparecer soluciones que anulan un denominador de la ecuación de partida. En ella habría que dividir entre 0, así que no son válidas.

¿Cómo se calcula el mcm de los denominadores?

Se factorizan todos y se toman los factores comunes y no comunes con el mayor exponente. El mcm de x − 1, x + 1 y x² − 1 = (x − 1)(x + 1) es (x − 1)(x + 1).

¿Se puede multiplicar en cruz?

Sí, cuando hay una sola fracción en cada miembro: a/b = c/d → a · d = b · c. Es un caso particular de multiplicar por el mcm, y también hay que comprobar las soluciones.

¿Cómo escribo la ecuación en la calculadora?

Pon entre paréntesis los numeradores y denominadores con más de un término y usa ^ para las potencias: (x + 1)/(x^2 - 4) = 3/(x - 2).

Revisado en septiembre de 2026.

Paso a paso

Pasos para resolver una ecuación racional

Por qué hay que comprobar

Ejemplos resueltos

Errores frecuentes

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