Calcular la función inversa y la composición de funciones

Escribe la función, como (2x + 1)/(x − 3) o 2^(x + 1), y verás cómo se despeja x para obtener la inversa. En el otro modo, escribe f y g para componerlas.

En resumen

Para calcular la función inversa se escribe y = f(x), se despeja x y se intercambian las letras. Para f(x) = (2x + 1)/(x − 3): y(x − 3) = 2x + 1 → x(y − 2) = 3y + 1 → f⁻¹(x) = (3x + 1)/(x − 2).

La composición (f∘g)(x) = f(g(x)) se calcula sustituyendo la x de f por g(x). Con f(x) = x² + 1 y g(x) = 2x − 3: f(g(x)) = (2x − 3)² + 1 = 4x² − 12x + 10.

Cómo se calcula la función inversa paso a paso

  1. Escribe y en lugar de f(x): y = 3x − 5.
  2. Despeja x deshaciendo las operaciones en orden inverso: y + 5 = 3x → x = (y + 5)/3.
  3. Intercambia x e y: f⁻¹(x) = (x + 5)/3.
  4. Comprueba: f(f⁻¹(x)) = 3 · (x + 5)/3 − 5 = x.

La inversa deshace lo que hace la función: si f(2) = 1, entonces f⁻¹(1) = 2. Por eso sus gráficas son simétricas respecto de la recta y = x, y el dominio de f⁻¹ es el recorrido de f.

Inversas de las funciones más habituales

FunciónInversaObservación
ax + b(x − b)/aCualquier recta no horizontal
x²√xSolo en la rama x ≥ 0
x³∛xEn todo ℝ
eˣln xPara x > 0
10ˣlog xPara x > 0
aˣlog_a x = ln x / ln aPara x > 0
1/x1/xEs su propia inversa
sen xarcsen xRama −π/2 ≤ x ≤ π/2

Cuándo existe la inversa

Una función tiene inversa si es inyectiva: cada valor de y sale de un único x. f(x) = x² no lo es (f(2) = f(−2) = 4), así que su inversa solo existe si se restringe el dominio a x ≥ 0 o a x ≤ 0. Gráficamente, es inyectiva si ninguna recta horizontal corta a la gráfica más de una vez.

Composición de funciones

(f∘g)(x) = f(g(x)): primero se aplica g y al resultado, f. Se calcula sustituyendo g(x) entera, entre paréntesis, en cada x de f. El orden importa: en general f∘g ≠ g∘f.

f(x) = x² + 1, g(x) = 2x − 3 (f∘g)(x) = (2x − 3)² + 1 = 4x² − 12x + 10 (g∘f)(x) = 2(x² + 1) − 3 = 2x² − 1

Una función y su inversa, compuestas en cualquier orden, dan la identidad: (f∘f⁻¹)(x) = x.

Ejemplos resueltos

Inversa de f(x) = (2x + 1)/(x − 3)

f⁻¹(x) = (3x + 1)/(x − 2).

Probar este ejemplo

Inversa de f(x) = 2^(x + 1)

x + 1 = log₂ y → f⁻¹(x) = log₂ x − 1 = ln x / ln 2 − 1.

Probar este ejemplo

Inversa de f(x) = √(x − 1)

x − 1 = y² → f⁻¹(x) = x² + 1, para x ≥ 0.

Probar este ejemplo

f(x) = x² + 1 y g(x) = 2x − 3: f∘g y g∘f

f∘g = 4x² − 12x + 10; g∘f = 2x² − 1.

Probar este ejemplo

Errores frecuentes

  • Confundir f⁻¹ con 1/f. La inversa de f(x) = 2x es x/2, no 1/(2x). El −1 no es un exponente.
  • Olvidar el intercambio final. Tras despejar x hay que cambiar y por x para escribir f⁻¹(x).
  • Componer en el orden equivocado. f∘g significa «primero g, después f».
  • Buscar la inversa de una función no inyectiva sin restringir el dominio.

Para dibujar las dos funciones y comprobar la simetría, usa la graficadora. La inversa de las exponenciales son los logaritmos.

Un poco de historia

Las funciones inversas aparecieron antes de tener nombre: el logaritmo de Napier (1614) es la inversa de la exponencial, aunque esa relación la dejó clara Leonhard Euler en su Introductio in analysin infinitorum de 1748. La notación f⁻¹ para la inversa se atribuye al astrónomo John Herschel, que la propuso en 1813.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula la función inversa?

Se escribe y = f(x), se despeja x y se intercambian x e y. Por ejemplo, para f(x) = 3x − 5: y + 5 = 3x, x = (y + 5)/3, así que f⁻¹(x) = (x + 5)/3.

¿Todas las funciones tienen inversa?

No: solo las inyectivas, en las que cada valor de y viene de un único x. x² no lo es en todo ℝ, pero sí si se restringe a x ≥ 0, y entonces su inversa es √x.

¿Qué relación hay entre la gráfica de una función y la de su inversa?

Son simétricas respecto de la recta y = x (la bisectriz del primer y tercer cuadrante): si el punto (a, b) está en la gráfica de f, el (b, a) está en la de f⁻¹.

¿Qué es la composición de funciones?

Aplicar una función al resultado de otra: (f∘g)(x) = f(g(x)). Con f(x) = x² y g(x) = x + 1, f(g(x)) = (x + 1)² y g(f(x)) = x² + 1.

¿f⁻¹(x) es lo mismo que 1/f(x)?

No. f⁻¹ es la función inversa (la que deshace f) y 1/f(x) es el inverso del valor. Para f(x) = x + 2, f⁻¹(x) = x − 2, mientras que 1/f(x) = 1/(x + 2).

¿Cuál es el dominio de la función inversa?

El recorrido de la función original, y su recorrido es el dominio de la original. Para f(x) = eˣ (recorrido (0, +∞)), la inversa ln x tiene dominio (0, +∞).

Revisado en septiembre de 2026.

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