Calcular el dominio y el recorrido de una función
Escribe la función, como (x + 1)/(x − 2), √(x² − 4) o ln(x − 1). Verás qué condición pone cada parte, el dominio en intervalos y el recorrido con su gráfica.
En resumen
El dominio de una función son los valores de x para los que se puede calcular. Se buscan las operaciones con restricciones: denominadores ≠ 0, raíces pares ≥ 0 y argumentos de logaritmos > 0. Para f(x) = (x + 1)/(x − 2): x − 2 ≠ 0, así que Dom f = ℝ − {2}.
El recorrido (o imagen) son los valores que toma f(x). En este ejemplo la función se acerca a 1 pero nunca lo alcanza: Im f = ℝ − {1}.
Dominio según el tipo de función
| Función | Condición | Ejemplo |
|---|---|---|
| Polinómica | Ninguna: dominio ℝ | x² − 3x + 1 → ℝ |
| Racional (fracción) | Denominador ≠ 0 | 1/(x − 3) → ℝ − {3} |
| Raíz de índice par | Radicando ≥ 0 | √(x − 2) → [2, +∞) |
| Raíz de índice impar | Ninguna | ∛(x − 2) → ℝ |
| Logarítmica | Argumento > 0 | ln(x + 1) → (−1, +∞) |
| Exponencial | Ninguna (si la base es un número positivo) | 2ˣ → ℝ |
| Tangente | cos x ≠ 0 | tan x → ℝ − {π/2 + kπ} |
Cómo se calcula el dominio paso a paso
- Busca las operaciones con restricciones: fracciones, raíces pares, logaritmos.
- Escribe la condición de cada una y resuélvela (es una ecuación o una inecuación).
- El dominio es la intersección: los x que cumplen todas las condiciones a la vez.
- Exprésalo en intervalos. Si solo faltan unos puntos, se escribe ℝ − {…}.
Cómo se calcula el recorrido
El recorrido es más difícil, porque hay que saber qué valores alcanza la función. Hay tres formas habituales:
- Con la gráfica: el recorrido es la «sombra» de la curva sobre el eje Y.
- Despejando x: se escribe y = f(x), se despeja x y se mira para qué valores de y existe. En y = (x + 1)/(x − 2) queda x = (2y + 1)/(y − 1), que existe si y ≠ 1.
- Con límites, máximos y mínimos: en cada tramo del dominio, los valores van del mínimo al máximo, o hasta el límite en los bordes. Es lo que hace la calculadora.
Despejar x es justo el primer paso para calcular la función inversa, cuyo dominio es el recorrido de la función de partida.
Ejemplos resueltos
Errores frecuentes
- Quitar el 0 del dominio de una raíz. √x existe en x = 0: el radicando puede ser 0, solo no puede ser negativo.
- Incluir el 0 en un logaritmo. ln 0 no existe: el argumento tiene que ser estrictamente positivo.
- Simplificar antes de calcular el dominio. (x² − 1)/(x − 1) no existe en x = 1 aunque simplificada sea x + 1.
- Confundir dominio y recorrido. El dominio se mira en el eje X; el recorrido, en el eje Y.
Para dibujar cualquier función usa la graficadora de funciones, y para las asíntotas en los puntos que faltan, la de asíntotas.
Un poco de historia
La palabra «función» la empezó a usar Gottfried Leibniz a finales del siglo XVII. Leonhard Euler introdujo la notación f(x) en 1734, y en 1837 Peter Gustav Lejeune Dirichlet dio la definición moderna: una regla que asigna a cada x de un conjunto un único valor, sin necesidad de que haya una fórmula detrás. De ahí salen el dominio y el recorrido.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula el dominio de una función?
Se buscan las operaciones que no se pueden hacer con cualquier número: denominadores (no pueden ser 0), raíces pares (lo de dentro ≥ 0) y logaritmos (argumento > 0). Se resuelve cada condición y el dominio es lo que cumple todas. Por ejemplo, en (x + 1)/(x − 2) solo hay que quitar x = 2: Dom f = ℝ − {2}.
¿Qué es el recorrido de una función?
El conjunto de valores que toma f(x), es decir, las alturas que alcanza la gráfica. También se llama imagen o rango. f(x) = x² tiene recorrido [0, +∞) porque un cuadrado nunca es negativo.
¿Cuál es el dominio de una función polinómica?
Todos los números reales, ℝ: sumas, restas, multiplicaciones y potencias de exponente natural se pueden hacer siempre.
¿Cuál es el dominio de una función con raíz?
Si la raíz es de índice par (cuadrada, cuarta…), los x que hacen el radicando mayor o igual que 0. √(x − 3) tiene dominio [3, +∞). Si el índice es impar (cúbica), no hay restricción.
¿Cuál es el dominio de una función logarítmica?
Los x que hacen el argumento estrictamente positivo. ln(x + 1) tiene dominio (−1, +∞) y log(x² − 9), (−∞, −3) ∪ (3, +∞).
¿Cómo escribo la función en la calculadora?
Con x como variable, ^ para las potencias, sqrt o √ para las raíces y ln, log, sin, cos, tan para las demás funciones: (x+1)/(x-2), sqrt(x^2-4), ln(x-1).
Revisado en septiembre de 2026.
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