Descomposición en factores primos (con el árbol)
Escribe un número entero. Verás su descomposición en factores primos con el método de la tabla y el árbol de factores, como se hace en clase.
En resumen
Para descomponer un número en factores primos se divide entre el primo más pequeño posible (2, 3, 5, 7…) una y otra vez hasta llegar a 1. Por ejemplo, 360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2³ · 3² · 5.
Cómo descomponer un número en factores primos
Descomponer un número en factores primos es escribirlo como producto de números primos. Siempre hay una única forma de hacerlo (teorema fundamental de la aritmética).
Método de la tabla (divisiones sucesivas)
- Escribe el número y traza una línea vertical a su derecha.
- Divide entre el primo más pequeño que lo divida (prueba 2, 3, 5, 7, 11…) y escribe el primo a la derecha y el cociente debajo.
- Repite con el cociente hasta llegar a 1.
Método del árbol
Se parte el número en dos factores cualesquiera (360 = 36 · 10) y cada rama se sigue partiendo hasta que todas acaban en un primo. Da igual por dónde empieces: los primos del final siempre son los mismos.
Para qué sirve
Para calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo, simplificar fracciones, hallar raíces exactas (√360 = √(2² · 3² · 10) = 6√10) o contar los divisores de un número.
Criterios de divisibilidad para ir más rápido
- Entre 2: si acaba en cifra par.
- Entre 3: si la suma de sus cifras es múltiplo de 3 (360 → 3 + 6 + 0 = 9).
- Entre 5: si acaba en 0 o en 5.
- Entre 7: si al quitar la última cifra y restar su doble sale múltiplo de 7 (343 → 34 − 6 = 28).
- Entre 11: si la diferencia entre la suma de las cifras en posición par y en posición impar es 0 o múltiplo de 11.
Un poco de historia
Que todo número se descompone en factores primos de una sola manera está ya en esencia en los Elementos de Euclides, pero la primera demostración completa la publicó Gauss en 1801, en sus Disquisitiones Arithmeticae. Hoy la seguridad de internet (el cifrado RSA, de 1977) se basa en que descomponer números enormes en primos es dificilísimo.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se descompone un número en factores primos?
Dividiéndolo entre el primo más pequeño posible (2, 3, 5…) y repitiendo con el resultado hasta llegar a 1. Los divisores usados son los factores: 36 = 2 · 2 · 3 · 3 = 2² · 3².
¿Cuál es la descomposición en factores primos de 36?
36 = 2² · 3². Se divide entre 2 dos veces (36 → 18 → 9) y entre 3 dos veces (9 → 3 → 1).
¿Qué pasa si el número es primo?
Su descomposición es él mismo: 17 = 17. Solo es divisible entre 1 y entre sí mismo.
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