Calcular probabilidades con la distribución de Poisson

Escribe λ, el número medio de sucesos en el intervalo (llamadas por hora, erratas por página…), y el número k que te interesa.

En resumen

La distribución de Poisson cuenta sucesos raros en un intervalo: P(X = k) = e^(−λ) · λᵏ / k!, con media y varianza λ. Si llegan de media 3 clientes por hora, la probabilidad de que lleguen exactamente 5 es e⁻³ · 3⁵ / 5! ≈ 0,101.

Cuándo se usa la distribución de Poisson

Para contar sucesos que ocurren al azar, de forma independiente y a un ritmo medio constante: llamadas a una centralita por hora, clientes que llegan en 10 minutos, averías al mes, erratas por página…

Fórmula

P(X = k) = e^(−λ) · λᵏ / k! μ = λ σ² = λ
  • λ (lambda): número medio de sucesos en el intervalo.
  • k: número de sucesos cuya probabilidad buscas.
  • e: el número e, ≈ 2,71828.
  • k!: factorial de k (5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120).

Ejemplos resueltos

Una tienda recibe de media 3 clientes por hora. ¿Probabilidad de que lleguen exactamente 5?

e⁻³ · 3⁵ / 5! ≈ 0,1008 (un 10 %).

Probar este ejemplo

En la misma tienda, ¿probabilidad de que no llegue nadie en una hora?

e⁻³ · 3⁰ / 0! = e⁻³ ≈ 0,0498.

Probar este ejemplo

Un libro tiene de media 2 erratas por página. ¿Probabilidad de que una página tenga exactamente 1?

e⁻² · 2¹ / 1! ≈ 0,2707 (un 27 %).

Probar este ejemplo

Aproximación de la binomial

Una binomial con n grande y p pequeña (n ≥ 50 y n·p ≤ 5, por ejemplo) se parece mucho a una Poisson con λ = n · p, que es más fácil de calcular.

Un poco de historia

Siméon Denis Poisson la publicó en 1837 como aproximación de la binomial para sucesos raros. Se hizo famosa en 1898, cuando Ladislaus Bortkiewicz mostró que el número de soldados del ejército prusiano que morían cada año por la coz de un caballo seguía esa distribución.

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la fórmula de la distribución de Poisson?

P(X = k) = e^(−λ) · λᵏ / k!, con λ el número medio de sucesos en el intervalo. Si llegan de media 3 clientes por hora, la probabilidad de que lleguen exactamente 2 es e⁻³ · 3² / 2! ≈ 0,224.

¿Cómo se calcula una probabilidad de Poisson?

Con P(X = k) = e^(−λ) · λᵏ / k!, donde λ es el número medio de sucesos en el intervalo.

¿Qué diferencia hay con la binomial?

La binomial tiene un número fijo de intentos n; la de Poisson cuenta sucesos en un intervalo continuo (tiempo, espacio) sin un máximo fijo.

Si λ cambia de intervalo, ¿qué hago?

Se escala: si hay 3 llamadas por hora de media, en media hora λ = 1,5 y en 2 horas λ = 6.

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