Calcular la esperanza matemática de una variable aleatoria

Escribe cada valor que puede tomar la variable con su probabilidad (en decimal o en %; para 1/6 escribe 0,16667). Las probabilidades tienen que sumar 1.

En resumen

La esperanza matemática es la media ponderada por las probabilidades: E[X] = Σ xᵢ · pᵢ. En un juego en el que ganas 10 € con probabilidad 0,1 y pierdes 2 € con 0,9, E = 10 · 0,1 − 2 · 0,9 = −0,80 €: a la larga pierdes 80 céntimos por partida.

Fórmulas

E[X] = Σ xᵢ · pᵢ Var(X) = Σ xᵢ² · pᵢ − E[X]² σ = √Var(X)

La esperanza es lo que se obtendría de media si el experimento se repitiera muchísimas veces. No tiene por qué ser uno de los valores posibles: la esperanza al tirar un dado es 3,5.

  • E[X]: esperanza o valor esperado, la media a la larga.
  • xᵢ: cada valor posible (una ganancia negativa es una pérdida).
  • pᵢ: su probabilidad. Entre todas tienen que sumar 1.
  • Var(X): varianza y σ: desviación típica.

¿Es justo un juego?

Pon como valores las ganancias netas (lo que ganas menos lo que apuestas) y sus probabilidades. Si la esperanza es 0, el juego es justo; si es negativa, a la larga pierdes. En las loterías y los casinos siempre es negativa para el jugador: así se financian.

Ejemplos resueltos

Pierdes 5 € con probabilidad 0,5, ganas 2 € con 0,3 y ganas 20 € con 0,2

E = −5 · 0,5 + 2 · 0,3 + 20 · 0,2 = −2,5 + 0,6 + 4 = 2,1 €: a la larga ganas 2,10 € por jugada.

Probar este ejemplo

Ganas 10 € con probabilidad 0,1 y pierdes 2 € con 0,9

E = 10 · 0,1 − 2 · 0,9 = −0,80 €: a la larga pierdes 80 céntimos por partida.

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Una rifa de 100 papeletas a 2 € con un premio de 150 €

Si toca ganas 148 € netos (probabilidad 0,01) y si no pierdes 2 € (0,99): E = 1,48 − 1,98 = −0,50 €.

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Un poco de historia

Christiaan Huygens escribió en 1657 el primer libro de probabilidad, Sobre los razonamientos en los juegos de azar, donde define el valor de una apuesta como lo que hoy llamamos esperanza matemática. Partía de la correspondencia entre Pascal y Fermat de 1654.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula la esperanza matemática?

Multiplicando cada valor por su probabilidad y sumando todos los productos: E[X] = Σ xᵢ · pᵢ.

¿Cuál es la esperanza de un dado?

(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) · 1/6 = 3,5. Su varianza es 35/12 ≈ 2,92.

¿Qué significa que la esperanza sea negativa?

Que, repitiendo el juego muchas veces, de media se pierde esa cantidad en cada jugada.

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