Calcular la probabilidad condicionada P(A|B)
Elige cómo tienes los datos: una tabla de doble entrada con recuentos, las probabilidades de los sucesos o una probabilidad y una condicionada (regla del producto). Puedes poner nombre a los sucesos.
En resumen
La probabilidad condicionada de A sabiendo que ha ocurrido B es P(A|B) = P(A∩B) / P(B): de los casos en que ocurre B, qué parte son también A.
Si de 100 alumnos 40 estudiaron y, de ellos, 30 aprobaron: P(aprobar | estudiar) = 30 / 40 = 0,75. De los 60 que no estudiaron aprobaron 20: P(aprobar | no estudiar) = 20 / 60 ≈ 0,33.
Fórmula de la probabilidad condicionada
- P(A|B): probabilidad de A sabiendo que ha ocurrido B (la barra se lee «sabiendo que»).
- P(A∩B): probabilidad de que ocurran A y B a la vez (∩ es «y»).
- P(A) y P(B): probabilidad de cada suceso por separado.
Condicionar a B es reducir el espacio muestral: ya sabemos que ha pasado B, así que solo cuentan los casos de B. Con una tabla de doble entrada es muy fácil: se toma la fila o la columna del suceso que ya ha ocurrido y se divide la casilla de la intersección entre el total de esa fila o columna.
P(A|B) no es lo mismo que P(B|A)
Casi todos los que tienen gripe tienen fiebre, pero no casi todos los que tienen fiebre tienen gripe. Confundir las dos es un error muy común (la «falacia del fiscal»). Para pasar de una a otra se usa el teorema de Bayes.
Sucesos independientes
Dos sucesos son independientes si saber que ha ocurrido uno no cambia la probabilidad del otro: dos lanzamientos de una moneda, o dos extracciones con reemplazo. Sin reemplazo, en cambio, la segunda extracción depende de la primera. No confundas independientes con incompatibles: dos sucesos incompatibles (que no pueden pasar a la vez) son justamente muy dependientes.
Tabla de contingencia de ejemplo
| Estudia | No estudia | Total | |
|---|---|---|---|
| Aprueba | 30 | 20 | 50 |
| Suspende | 10 | 40 | 50 |
| Total | 40 | 60 | 100 |
P(aprueba | estudia) = 30/40 = 0,75; P(estudia | aprueba) = 30/50 = 0,6; P(aprueba) = 50/100 = 0,5. Como 0,75 ≠ 0,5, aprobar y estudiar no son independientes.
Ejemplos resueltos
De 100 alumnos, 30 estudiaron y aprobaron, 20 aprobaron sin estudiar, 10 estudiaron y suspendieron y 40 ni estudiaron ni aprobaron. P(aprobar | estudiar)?
30 / 40 = 0,75; en cambio, P(aprobar | no estudiar) = 20 / 60 ≈ 0,3333.
Probar este ejemploDe 200 clientes, 60 toman café y bollo, 30 solo bollo, 40 solo café y 70 nada. ¿Probabilidad de que pida bollo si pide café?
P(bollo | café) = 60 / 100 = 0,6, más que P(bollo) = 90 / 200 = 0,45: no son independientes.
Probar este ejemploEl 40 % de la gente va en bici (B), el 20 % es menor de edad (A) y el 10 % las dos cosas. P(menor | bici)?
0,1 / 0,4 = 0,25; P(bici | menor) = 0,1 / 0,2 = 0,5.
Probar este ejemploEn una bolsa hay 3 bolas rojas y 2 azules. Sacas dos sin devolverlas. ¿Probabilidad de que las dos sean rojas?
P(roja y roja) = 3/5 · 2/4 = 0,6 · 0,5 = 0,3.
Probar este ejemploErrores frecuentes
- Dividir entre el total general en lugar de entre el total del suceso que condiciona: eso da P(A∩B), no P(A|B).
- Confundir P(A|B) con P(B|A): cambian el denominador.
- Multiplicar probabilidades sin comprobar la independencia: P(A∩B) = P(A) · P(B) solo vale si son independientes; si no, hay que usar P(A) · P(B|A).
Para contar casos favorables y posibles en problemas con cartas o dados, usa las calculadoras de probabilidad y de combinatoria; para comprobar la independencia en tablas grandes, la de chi cuadrado.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula la probabilidad condicionada?
Dividiendo la probabilidad de que ocurran los dos sucesos entre la del suceso que condiciona: P(A|B) = P(A∩B) / P(B). Si el 10 % de la gente es menor de edad y va en bici, y el 40 % va en bici, P(menor | bici) = 0,1 / 0,4 = 0,25.
¿Cómo se calcula la probabilidad condicionada con una tabla de contingencia?
Se toma la fila o la columna del suceso que ya ha ocurrido y se divide la casilla de la intersección entre su total. Si 40 alumnos estudiaron y 30 de ellos aprobaron, P(aprobar | estudiar) = 30 / 40 = 0,75.
¿Qué significa P(A|B)?
La probabilidad de que ocurra A sabiendo que ya ha ocurrido B. La barra vertical se lee «condicionado a» o «sabiendo que».
¿Cuándo son independientes dos sucesos?
Cuando P(A∩B) = P(A) · P(B), o lo que es lo mismo, P(A|B) = P(A): saber que ha pasado B no cambia la probabilidad de A. Por ejemplo, sacar cara en dos lanzamientos de moneda.
¿Qué es la regla del producto?
La que da la probabilidad de que ocurran dos sucesos: P(A∩B) = P(A) · P(B|A). Con 3 bolas rojas y 2 azules, sacar dos rojas sin devolución: 3/5 · 2/4 = 0,3. En un diagrama de árbol, se multiplican las ramas del camino.
¿Qué diferencia hay entre probabilidad condicionada y teorema de Bayes?
La condicionada es la definición, P(A|B) = P(A∩B) / P(B). El teorema de Bayes la usa para «dar la vuelta» a una condicionada: calcular P(A|B) cuando lo que conoces es P(B|A).
Revisado en septiembre de 2026.
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