Calcular la recta de regresión lineal y hacer predicciones

Pega los valores de x y los de y en el mismo orden (el primer x va con el primer y). Escribe un x para predecir su y con la recta.

En resumen

La recta de regresión es y = a + b·x, con pendiente b = Sxy / Sx² (covarianza entre varianza de x) y ordenada a = ȳ − b·x̄. Es la recta que hace mínima la suma de los cuadrados de las distancias verticales de los puntos a ella.

Con x = 1, 2, 3, 4, 5 e y = 2, 4, 5, 4, 5: x̄ = 3, ȳ = 4, b = 6 / 10 = 0,6 y a = 4 − 0,6 · 3 = 2,2. La recta es y = 2,2 + 0,6·x, y para x = 6 predice y = 5,8.

Fórmulas de la recta de regresión

y = a + b·x b = (n·Σxy − Σx·Σy) / (n·Σx² − (Σx)²) = Sxy / Sx² a = ȳ − b·x̄
  • b: pendiente de la recta y a: ordenada en el origen (el valor de y cuando x = 0).
  • x̄ e ȳ: medias de x y de y, y n: número de pares.
  • Sxy: covarianza y Sx²: varianza de x.
  • Σ: «suma de», para todos los pares (Σxy es la suma de cada x por su y).

Las dos expresiones de b dan lo mismo: la primera es cómoda con la tabla de sumas (Σx, Σy, Σx², Σxy) y la segunda si ya tienes la covarianza Sxy y la varianza de x. En bachillerato se suele escribir en forma punto-pendiente, que deja claro que la recta pasa por el centro de gravedad (x̄, ȳ):

y − ȳ = (Sxy / Sx²) · (x − x̄)

Cómo interpretar la pendiente, r y R²

  • Pendiente b: cuánto cambia y, de media, por cada unidad que aumenta x. Si b = 8,87 helados/°C, cada grado más se venden unos 9 helados más.
  • Ordenada a: el valor de la recta en x = 0. A menudo no tiene sentido real (0 °C puede quedar fuera de los datos).
  • r: de −1 a 1, lo fuerte que es la relación lineal y su signo (el mismo que el de b).
  • R² = r²: la proporción de la variación de y que explica la recta. R² = 0,95 significa un 95 %.

Si solo te interesa si dos variables están relacionadas (r y la covarianza), usa la calculadora de correlación.

Predecir con la recta: interpolar y extrapolar

Para predecir, sustituye x en la recta. La predicción es fiable si |r| es alto (más de 0,7 u 0,8) y x está dentro del rango de los datos (interpolación). Fuera de ese rango (extrapolación) la relación puede dejar de ser lineal: la recta de helados y temperatura no sirve a 50 °C.

Para estimar x a partir de y, lo correcto es usar la recta de regresión de x sobre y, x = a′ + b′·y con b′ = Sxy / Sy², y no despejar x en la de y sobre x. Las dos rectas solo coinciden si r = ±1.

Ejemplos resueltos

x = 1, 2, 3, 4, 5; y = 2, 4, 5, 4, 5. Predice y para x = 6

y = 2,2 + 0,6·x; r ≈ 0,7746; ŷ(6) = 5,8.

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Temperatura y helados vendidos: ¿cuántos a 27 °C?

y ≈ −11,54 + 8,87·x; r ≈ 0,998; unos 228 helados.

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Horas de estudio (1 a 6) y nota (3, 4, 6, 5, 8, 9): ¿nota con 4,5 h?

y ≈ 1,73 + 1,17·x; r ≈ 0,946; nota prevista ≈ 7,0.

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Kilómetros del coche (miles) y precio (miles de €), relación negativa

y ≈ 19,92 − 0,0865·x; r ≈ −0,9998; a 90 000 km, unos 12 140 €.

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Errores típicos

  • Emparejar mal los datos: el primer x va siempre con el primer y.
  • Confundir a y b: en y = a + b·x, b multiplica a x. Algunas calculadoras y libros escriben y = mx + n o y = ax + b.
  • Usar la recta de y sobre x para despejar x.
  • Creer que una correlación alta demuestra que x causa y: los helados y las quemaduras solares suben a la vez por el sol.

Regresión lineal en Excel

Qué quieresFunción (y en B2:B9, x en A2:A9)
Pendiente b=PENDIENTE(B2:B9; A2:A9)
Ordenada en el origen a=INTERSECCION.EJE(B2:B9; A2:A9)
Coeficiente de correlación r=COEF.DE.CORREL(A2:A9; B2:B9)
Coeficiente de determinación R²=COEFICIENTE.R2(B2:B9; A2:A9)
Predicción para x = 27=PRONOSTICO.LINEAL(27; B2:B9; A2:A9)

Ojo al orden: en PENDIENTE e INTERSECCION.EJE van primero los valores de y. En un gráfico de dispersión también puedes añadir una «línea de tendencia» lineal y marcar «Presentar ecuación en el gráfico» y «Presentar el valor R cuadrado».

Un poco de historia

Adrien-Marie Legendre publicó el método de los mínimos cuadrados en 1805 para calcular órbitas de cometas, y Gauss dijo que lo usaba desde 1795. La palabra «regresión» viene de Francis Galton, que en 1886 vio que los hijos de padres muy altos tienden a ser algo menos altos que ellos: una «regresión» hacia la media.

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la fórmula de la recta de regresión?

y = a + b · x, con pendiente b = Sxy / Sx² (la covarianza entre la varianza de x) y a = ȳ − b · x̄. Con x = 1, 2, 3, 4, 5 e y = 2, 4, 5, 4, 5: b = 1,2 / 2 = 0,6 y a = 4 − 0,6 · 3 = 2,2, así que y = 2,2 + 0,6x.

¿Cómo se calcula la recta de regresión lineal?

Calcula las medias x̄ e ȳ, la pendiente b = Sxy / Sx² (o (n·Σxy − Σx·Σy) / (n·Σx² − (Σx)²)) y la ordenada a = ȳ − b·x̄. Con x = 1, 2, 3, 4, 5 e y = 2, 4, 5, 4, 5 sale b = 0,6, a = 2,2 y la recta y = 2,2 + 0,6·x.

¿Qué significa «mínimos cuadrados»?

Que de todas las rectas posibles se elige la que hace más pequeña la suma de los cuadrados de los errores (la distancia vertical de cada punto a la recta).

¿Qué diferencia hay entre regresión y correlación?

La correlación (r) mide lo fuerte que es la relación lineal entre dos variables; la regresión da la ecuación de la recta que sirve para predecir una a partir de la otra.

¿Qué es R²?

El coeficiente de determinación, el cuadrado de r: la proporción de la variación de y que explica la recta. R² = 0,81 significa que la recta explica el 81 % de la variación.

¿Cuándo es fiable una predicción?

Cuando la correlación es fuerte (|r| mayor que 0,7 u 0,8, según el campo), hay bastantes datos y el valor de x está dentro del rango de los datos. Fuera de él, la predicción es una extrapolación arriesgada.

¿Qué es la recta de regresión de x sobre y?

La que sirve para estimar x a partir de y: x = a′ + b′·y, con b′ = Sxy / Sy². Es distinta de la de y sobre x salvo que r = ±1, y las dos se cortan en (x̄, ȳ).

Revisado en septiembre de 2026.

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