Calcular la ecuación de la circunferencia (ordinaria y general)

Elige qué datos tienes: centro y radio, la ecuación general o tres puntos. Verás la ecuación ordinaria, la general, el centro, el radio y el dibujo.

En resumen

La ecuación de una circunferencia de centro (h, k) y radio r es (x − h)² + (y − k)² = r². Con centro (2, −3) y radio 4: (x − 2)² + (y + 3)² = 16, que desarrollada es la ecuación general x² + y² − 4x + 6y − 3 = 0.

Ecuaciones de la circunferencia

Ordinaria: (x − h)² + (y − k)² = r² General: x² + y² + Dx + Ey + F = 0 Con centro en el origen: x² + y² = r²
  • (h, k): coordenadas del centro.
  • r: radio.
  • (x, y): cualquier punto de la circunferencia.
  • D, E y F: coeficientes de la ecuación general.

Todos los puntos de la circunferencia están a distancia r del centro: la ecuación es el teorema de Pitágoras aplicado a esa distancia.

De la general a centro y radio

Se completan cuadrados, o directamente: centro (−D/2, −E/2) y r = √(h² + k² − F). Si lo de dentro de la raíz sale negativo o cero, la ecuación no es una circunferencia real.

Ejemplos resueltos

Circunferencia de centro (2, −1) y radio 3

(x − 2)² + (y + 1)² = 9. Desarrollando: x² + y² − 4x + 2y − 4 = 0.

Probar este ejemplo

Centro y radio de x² + y² − 6x + 8y = 0

Centro (−D/2, −E/2) = (3, −4) y r = √(3² + 4² − 0) = 5.

Probar este ejemplo

Circunferencia que pasa por (0, 0), (4, 0) y (0, 6)

Centro (2, 3) y r = √(2² + 3²) = √13 ≈ 3,61: (x − 2)² + (y − 3)² = 13.

Probar este ejemplo

Un poco de historia

La ecuación (x − a)² + (y − b)² = r² no es más que el teorema de Pitágoras escrito con coordenadas, como propuso Descartes en 1637. Mucho antes, Apolonio de Perga se había planteado cómo trazar una circunferencia tangente a otras tres, un problema que todavía lleva su nombre.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se saca la ecuación de una circunferencia?

Con el centro (h, k) y el radio r: (x − h)² + (y − k)² = r². Desarrollando los cuadrados se obtiene la forma general.

¿Cómo se calcula el centro y el radio desde la ecuación general?

En x² + y² + Dx + Ey + F = 0, el centro es (−D/2, −E/2) y el radio √((D/2)² + (E/2)² − F).

¿Cómo se halla la circunferencia que pasa por tres puntos?

Su centro es el punto donde se cortan las mediatrices de los segmentos que unen los puntos (el circuncentro del triángulo). El radio es la distancia del centro a cualquiera de ellos.

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