Desarrollar productos notables y polinomios
Escribe una expresión con x, como (2x − 3)², (x + 5)(x − 5) o 3x(x − 2) + x². Se desarrolla, se reconocen los productos notables y se agrupan los términos semejantes.
En resumen
Los productos notables más usados son (a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b² y (a + b)(a − b) = a² − b². Por ejemplo, (x + 3)² = x² + 6x + 9 y (x + 5)(x − 5) = x² − 25.
Los productos notables
- a y b: los dos términos del binomio (números, letras o las dos cosas, como 2x).
- 2ab: el doble producto, el que se olvida a menudo.
Se llaman «notables» porque aparecen tanto que conviene saberlos de memoria en lugar de multiplicar término a término.
Ejemplos resueltos
El error más común
(a + b)² no es a² + b²: falta el doble producto. Con números se ve claro: (3 + 4)² = 49, pero 3² + 4² = 25.
Multiplicar polinomios en general
Cada término del primer paréntesis multiplica a cada término del segundo, y después se suman los términos semejantes: (x + 2)(x² − x + 3) = x³ − x² + 3x + 2x² − 2x + 6 = x³ + x² + x + 6.
Un poco de historia
Euclides demostró en los Elementos (libro II) identidades como (a + b)² = a² + 2ab + b² sin letras, con figuras: el cuadrado de lado a + b se divide en un cuadrado a², otro b² y dos rectángulos ab. De esa visión geométrica vienen los nombres «cuadrado» y «cubo» de un número.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se desarrolla un binomio al cuadrado?
El cuadrado del primero, más (o menos) el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo: (x + 3)² = x² + 6x + 9.
¿Qué es una suma por diferencia?
El producto (a + b)(a − b), que siempre da a² − b². Por ejemplo, (x + 5)(x − 5) = x² − 25.
¿Cómo escribo las potencias?
Con ^ o con los superíndices: (x + 1)^3 o (x + 1)³. La multiplicación puede ir implícita: 3x(x − 2).
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